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《山东大学》 2008年
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偏微分方程最优控制问题有限元方法的超收敛分析和后验误差估计

常延贞  
【摘要】: 偏微分方程最优控制问题的研究是数学科学中非常鲜活且有生命力的领域,过去三十年来得到了很好的发展。作为数学尤其是应用数学的一个分支,它涵盖了许多领域比如材料设计,晶体增长,化学反应等过程中所用到的例如时间控制,回馈控制,流体方程控制,最优形状设计等重要的多种类型的控制问题,相关文献可见[59,69,72,75]。其中涉及到的方程类型既有线性的和椭圆的,又有非线性的和时变的。特别复杂和重要的是,随着科学和工程的发展,我们碰到是具有更重要应用和实际需要的许多线性或者非线性耦合方程组的最优控制问题,相关文献可参见[4,22,36,37].同时,由于实际应用中问题的复杂性,以及能用更有成效的数学理论来分析这些问题,可见形成更合理更适定的数学模型无疑是非常大的一个挑战。另一方面,随着计算机的发展和计算能力的提高,在有了问题的数学模型的描述之后,摆在我们面前的第二个任务就是如何采取更有效的数值方法去满足此类问题的计算要求,使得问题的物理过程得到直观的模拟,从而为实际的生产带来更大的帮助或者技术的提高。从而,为了检验问题模型正确与否和为进一步的研究提供基础我们需要在数值方法和相关数学逼近理论分析方面有更快的发展才能保持平衡。众所周知,在当前大的科学与工程计算过程中,有限元方法因其自身的优越性使得在众多数值方法中占有了不可替代的位置。 有限元方法在偏微分方程最优控制问题中的应用已有很广泛和深入的研究,无论是在数值计算还是收敛性和误差分析方面的结果都不胜枚举,具体可参见[5,6,31,52]等。例如,最优控制问题中状态方程为线性时,先验误差估计早在[27]中就已给出,但是非线性状态方程的控制问题的误差分析就较为困难,仅有几类比较特殊的问题有先验估计的结果,可见文献[7,38],[62]。最优控制问题中当控制变量受限时,状态和伴随状态方程的最优阶的误差估计单纯靠有限元误差估计的一般性手段似乎不能解决。正是这类问题的提出,使得超收敛分析的技术被引入到有限元的误差估计之中来。恢复技术在偏微分方程超收敛分析的众多手段中是较为普遍和常用的方法之一。在控制受限的偏微分方程的控制问题中,由于控制变量的正则性比较差,此类恢复技术在误差估计时依据现有结论来看只能够提高半阶精度,具体可参见[81]中的分析。在一类线性最优控制问题的研究中,Meyer和R(?)sch在文章[68]中通过构造一种特殊投影的办法将误差估计的精度提高了一阶。在正则性比较差的条件下,得出这样的结论是非常有意义的,对分析技巧也是有很高的创新性要求的。除此之外,文献[61]还给出了一类Stokes方程的最优控制问题的超收敛分析。对于控制问题要得到较好的计算精度,此类超收敛分析的技巧还是非常必要和有难度的。从文献的数量和种类来看,尽管偏微分方程有限元方法的超收敛分析有了较为成熟的发展,但是对控制问题来说此方面的研究尚属初步阶段,将是一个具有深远意义和价值的研究领域。 虽然当前科技论文文献中关于最优控制问题的有限元逼近中快速数值求解的文章不胜枚举,但即使对控制受限下的线性椭圆控制问题的计算仍然需要有深入研究。原因是最优控制问题的求解仍存在很多计算上的瓶颈问题,其中种种困难错综复杂,相互制约,从而增加了研究的难度。 从已有的研究成果来看,在诸多类型有限元方法的计算中,自适应有限元因其高效性已成为当前科学与工程计算领域内一个重要课题。为了得到精度更高的数值解,自适应方法的本质正是在于通过后验误差估计得到的指示子作为加密的标准来实现其网格的局部加密。它的实现机理就是在指示子大的地方进行网格加密,所以在函数正则性较差的地方网格点分布较密。正是基于此,指示子对自适应方法是否有效和可靠是非常重要的标准和依据。关于指示子有很多种,比如残量类型,分层类型,基于局部平均就是所谓的目标定向对偶加权方法的类型,函数型误差控制子等等,具体可见[3,9,10]等文献。从众多相关文献中可以看出偏微分方程的边值问题和初边值问题的自适应计算已经有了很成熟的应用和分析,但是方程的最优控制问题方面,自适应方法的计算还是属于初步阶段,仅有部分类型的控制问题有相关结论。例如,对于控制不受限的问题目标定向对偶加权方法在文献[11]中给出了分析。控制受限下的控制问题残量类型的后验估计可见文献[29,41,43,63]中的结论。一般来说控制受限时其正则性较差,故好的自适应方法需要能更好的提高其收敛精度,这样才能本质的提高问题的研究水平。又由于控制变量和状态变量以及伴随状态变量的正则性差别比较大,可见如果计算过程中能在各自的网格上进行计算将会有更好的收敛精度,这就使得在最优控制问题的自适应计算中多套网格的应用有很大的需要,但是数值计算过程变得复杂的多,尤其是抛物问题等发展方程的计算,相关内容可见[45,56]. 关于自适应网格在计算过程中对有效降低误差方面的结论,相关文献可见[11,12,55]等。我们发现在控制有奇性的地方如果网格的分布不合适将会引起很大的误差而且这种误差在后面的计算中不能消除。这里需要指出的是在最优控制问题里广泛应用的仅从状态方程推导出的误差指示子用来求解整个控制问题不一定有效,所以迫切需要去寻找针对控制问题有效的指示子。在控制受限时控制和状态有不同的正则性以及各自奇性的位置不同,故同一套网格下进行计算效率较低。进而,对应多套网格下的后验误差估计即找出不同变量对应的不同指示子用来调整各自的网格,变得非常有必要,同时这也使得多套网格下自适应计算可以更有效地进行。此方法和思想可应用于很多类型控制问题,相关文献可见[46,55,64]等,在本文中给出用于一类双线性椭圆控制问题的分析和计算结论。 本篇论文在最优控制问题的超收敛分析和自适应方法的残量类型的后验误差估计方面作了部分研究。首先在第一章中,本文给出了一类双线性椭圆控制问题的超收敛分析和自适应方法的后验误差估计,并给出了数值模拟,相关结论已被《计算数学》(英文版)录用。在第二章中,针对实际工程中常用到的一类热耦合不可压缩Navier-Stokes流方程B(?)nard问题的最优控制给出了相应的超收敛分析,此部分的相关论文也已经被《计算数学》(英文版)录用。在第二部分中采用对欧技巧给出了此问题的后验误差估计。最后一章中针对二次采油过程中注水采油问题的优化给出了两相不可混溶驱动方程组最优控制问题的数学模型和相关理论分析。 下面的几段分别介绍一下各章的主要内容。 最优控制问题的研究中除了上面提到的线性方程控制和Stokes问题的控制外,在超收敛分析方面的内容较少,本文第一章第一部分中给出了一类双线性椭圆方程控制问题的超收敛分析。在作为参数估计中经常面临的这类双线性类型的控制问题,我们在分析超收敛之前先给出了先验误差估计,用来同后面的结论作为比较。离散过程中,状态和伴随状态用分片线性元去逼近,控制变量采用分片常数去逼近。在超收敛分析的过程中我们采用完全不同于文献[68]中的投影方法得到了最优的收敛阶。基于此,还给出了状态和伴随状态的L~2模和L~∞模的估计。第二部分中我们给出了此类问题的自适应有限元离散格式以及在多套网格下的计算方法。对状态和控制变量分别给出了其等价的后验误差估计。每部分的最后一节都给出了数值算例去验证误差分析的结果。 在工程和科学应用中,涉及耦合的非线性方程组的控制问题时,粘性流体方程组的控制无疑是一类具有广泛应用的模型之一。例如在半导体元件的制造中描述流体流动过程的Navier-Stokes方程的Boussinesq逼近就是经常碰到的模型之一。在晶体增长过程中比如Czochralski增长和区域熔融技术处理过程中,流体的性态严重影响晶体的质量;为了保证晶体的质量,我们很自然的做法就是控制流体的外部条件,比如可采用控制应力分布或者控制热源等等很多手段来处理。再比如,在湍流控制和晶体增长过程中都会用到的一类形式就是涡度的控制,它具有很强的实际效用。因此,文献中对热耦合的Navier-Stokes方程的控制问题给出了较多的研究,例如Neumann边界和Dirichlet边界热源控制等问题可见[34,37]。同时,与时间相关的此类问题也有很多研究。在控制变量无限制情形下,文献[53]给出了其逼近性质的分析,同时用梯度迭代方法去求解其离散问题;而在控制受限时,还没有相关的分析和结论,本文第二章中,正是对此类稳态的B(?)nard问题的最优控制作了研究,在本章中给出了此类问题有限元逼近的超收敛分析。因耦合的非线性问题后验误差估计的复杂性使得对此类控制问题自适应方法的研究产生了很大负面影响,目前为止对于控制受限的B(?)nard问题的后验估计还未见有相应的分析,但是它又具有非常重要的应用价值,故此原因成为我们研究的动力源泉。本文第二章的第二部分采用对偶技巧给出了此类问题的后验误差估计,采用其结果可以进行自适应计算。像很多控制问题一样,我们还给出了其接触集的误差估计,使得我们的估计子更加精确。 石油工程领域研究的目的就是如何能开采出更多的油,即使世界范围内石油产量增加千分之一仅带来数百万美元的经济利益,他们也会千方百计地去开采,可见石油作为一种能源有着不可替代的作用。现今,从历史来看石油的开采已进入二次或者三次开采阶段,其中在二次采油过程中主要的手段就是注水采油,即通过注水井和采油井完成。采油井用于把油藏中的油输送到地表,注水井用来注入大量的水来维持油藏中的压力差已达到驱油的目的。油藏中油水混合物朝采油井方向运移直至发生水窜为止,在此过程中随着石油被开采出来,则需要不断地注入更多的水,直到采收率非常低的情况下,开采过程结束。由于地质结构的非均质性,开采过程中油水的运移不是一致的,甚至非常不规则,导致的后果就是提前发生水窜而致使油滞留在地下。经计算,在注水采油的过程中,最多有百分之三十五的石油被开采出来,造成了成本的巨大浪费。 经实际考察发现,过去的几年里由于智能井的产生使得原油开采有了很大的进步,是因为井自身拥有高级测量和控制装置,提高了控制运移前沿的可能性。基于此,使得对如何达到最大采收率优化方案的设计成为可能。直接的想法就是基于现有的油藏模型采用优化的思想研究一种控制策略以达到延迟水窜发生的目的,增加水的波及范围从而达到采油最多。显然,此类问题可以转化为偏微分方程的最优控制问题。由于实际操作的过程是通过控水阀来改变注水量以达到采油最多的目的,故本文以注水量作为控制提出一类合理的控制模型。 油藏模拟专家多采用质量守恒和动量守恒方程组来描述地下油、水、汽的混合物在多孔介质中的运移过程。尽管原油的实际成分中包含许多化学物质,但出于简化的考虑,多数情形下仍采用黑油模型来分析。此类模型与油、汽、水三相的方程组有很大的区别,且可以更简化,使得其中仅为两相,即本章中研究的多孔介质中不可压两相流模型。在第三章中,我们首先给出了一类椭圆耦合抛物型方程组的控制受限问题的数学模型;其次,进一步证明了此类问题解的存在性,并且给出伴随状态方程的形式和解存在性的证明以及最优性条件的推导;最后还给出了其有限元逼近格式。
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2008
【分类号】:O241.82

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