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状态受限最优控制问题的有限元方法

袁磊  
【摘要】: 在近三十年来,分布参数最优控制问题的数值方法一直是一个非常活跃的研究领域.有限元方法已经被广泛的应用于数值求解不同类型的分布参数最优控制问题.并且很多学者都认为有限元方法特别适合处理这一类型的问题.关于这一主题可以参阅相关的专著. 虽然,最优控制问题的有限元方法已经有了大量优秀的成果,但大部分的研究工作主要集中于控制受限的最优控制问题.近些年来,一些学者开始考虑状态受限的最优控制问题的有限元方法.这类问题在实际应用中经常出现,但却又非常难于处理.在这些学者中,大部分研究工作主要关注于一个比较特殊的问题一状态逐点受限问题.该问题具有约束形式:y≥φ,相关的工作参阅.在一些适当的条件下,对于状态逐点受限的最优控制问题,Casas在中证明了Lagrange乘子在测度意义上存在.一般情况下对于纯状态受限问题,乘子是一个Radon测度.同时接触集包含一些未知的自由边界,而且在自由边界附近解的正则性较低.因此,对于这个问题的有限元分析是非常困难的.然而,在近几年中,对于状态逐点受限的最优控制问题的有限元方法还是有了一些进展,见,例如.对于这个问题学者们还研究了一些其它的数值方法:拉格朗日函数方法,原始对偶(Primal-Dual)策略算法,水平集(Level Set)方法,Uzawa类型的算法,Lavrentiev正则化方法和变分不等式方法,等等. 然而在实际的工程应用中,人们通常更为关心如何约束状态变量的平均值或者状态变量一些能量范数(本质上是积分类型的约束).例如,我们希望控制流体的浓度或者流体的动能.所以其实也存在很多其它类型的状态约束,如积分约束,L~2模约束,H~1模约束,等等.以前的有些学者研究了一些抽象形式的状态约束,参见.他们讨论了相应于问题的Lagrange乘子的存在性.但是对于这些问题的有限元逼近和误差分析,很少有系统的研究.近些年来,一些研究者开始关注这类问题的数值方法.在中,Tiba和Tr(o|¨)ltzsch使用不精确的罚方法研究了一个状态积分形式受限,抛物方程作为状态方程的最优控制问题.由于他们使用了不精确的罚方法,因而讨论依赖于罚参数ε,并且对于观测状态正则性的一些假设在实际中也不太合适.另外一个相关工作是由Casas在中给出的.对于半线性椭圆方程作为状态方程,在有限个状态约束下的最优控制问题,Casas给出了有限元逼近的收敛性证明.随后Casas和Mateos在中扩展了他们的结论:降低了对于状态的正则性要求,并且也对半线性分布和边界控制问题的有限元逼近也给出了收敛性证明.在他们的讨论中,需要对解的局部性质做很多假设,并且没有给出有限元解的L~2和L~∞模的最优阶误差估计. 在本篇论文中,我们将对几类整体型状态受限的最优控制问题及其有限元方法给出系统的研究. 在分布参数最优控制问题的有限元方法研究中,另一个非常重要的方向是自适应方法的研究.最近的研究表明合适的自适应网格可以大量减少有限元离散解的误差,见. 正如我们所知,在众多类型的有限元方法中,自适应有限元方法是极为重要的一类方法.关于这种方法的算法设计,理论分析和实际计算的相关研究也是近年来比较活跃的领域.为了得到精度可以接受的数值解,自适应有限元方法的本质是应用后验误差估计子去指导网格的加密生成过程.只有当后验误差估计子数值比较大的地方才会被加密,因而计算节点比较高密度的分布在精确解比较难于被逼近的地方.所以,对于具有奇性的解,可以使用最少的自由度得到较为精确的数值逼近解.自适应有限元方法目前已经被广泛的应用于各种科学计算.对于有效的处理偏微分方程的边值问题和初边值问题,自适应有限元方法的理论和应用已经到达了某种成熟的地步.相关的一些理论和技巧,可以参见. 通常,最优控制问题中的最优控制具有一些奇性.例如在一个障碍类型的约束下,沿着接触集边界最优控制的梯度有间断.因此,数值计算的误差通常主要分布在这些解有奇性的地方,参见.显然,一个有效的离散格式应该有较多的计算节点分布在这些地方.相反地,如果计算网格不能适当的生成,那么在控制有奇性或状态有边界层的地方会产生较大的计算误差.所以大量的研究表明,自适应有限元方法应用于计算最优控制问题是非常有效的.已经有大量文献研究了控制受限最优控制问题的自适应方法.我们简要的回顾一些相关工作,基于残量方法的后验误差估计分别被:Liu和Yan,Hinterm(u|¨)ller和Hinze,Gaevskaya、Hoppe和Repin研究过.将对偶含权残量方法应用于最优控制问题,可以参阅Becker和Rannacher的文献.近来的一些研究可以参阅.关于这一领域中的一些未解决的问题可以参阅. 与控制受限的问题不同,自适应方法处理状态受限的最优控制问题也是最近才有了一些初步的进展.对于状态逐点受限问题,Hoppe和Kieweg在中给出一个基于残量的方法后验估计.G(u|¨)ther和Hinze在中将对偶含权残量方法应用于状态受限的最优控制问题.Bendix和Vexler在中也给出了一个类似的方法.Wollner在中给出一个基于内部点方法的自适应方法,并且他还处理了状态梯度受限的问题.但是一般学者都认为,状态逐点受限问题的自适应有限元方法还是一个未解决的问题.另一方面,限于作者的知识,目前还没有关于积分或L~2模状态受限最优控制问题的自适应有限元方法的研究工作. 此外,多套网格在计算最优控制问题中通常也是非常有用的,见Liu.在一个有约束的最优控制问题中,最优控制和状态通常具有不同的光滑性,因此它们奇性的分布位置也是不同的.这就意味着用一套网格的策略通常可能是效率很低的.多套自适应网格(即:根据不同的后验误差指示子,对不同变量分别给出不同的自适应网格)通常是必要的.由于通常最优控制问题是一个非线性问题,需要迭代求解.对控制和状态分别用不同的自适应网格,可以允许用较粗网格去求解状态方程和伴状态方程.因为计算最优控制主要的计算负载是在重复的求解状态方程和伴状态方程,所以大量的计算工作可以被节省,相关方面的研究,参见. 在本篇论文中,结合使用多套网格,我们将对于状态受限积分约束和L~2模约束的最优控制问题给出相应的自适应有限元方法. 求解最优控制需要将求解优化过程和求解状态方程统一结合起来.在现有的科学文献中,已经有大量关于最优控制问题的快速数值算法的研究.主要有两种方法:一种是着眼于最优性条件,直接求解最优性条件.这种方法通常需要求解一组偏微分方程.另外一种是直接离散原优化问题,使其转化成一个有限维的优化问题,然后可以用标准现成的优化软件求解.关于这一领域的最新进展可以参阅和.然而上述两种方法不能被视为完全无关.在本篇论文中,基于优化算法的思想,我们将介绍一个简单但却有效的梯度投影算法去求解离散后的有限元系统,并且我们给出了算法收敛性的证明.同时对于不易计算投影的问题,我们也给出了两个鞍点搜索算法,并且证明了算法的收敛性. 本篇论文由一些关于状态受限最优控制问题的有限元方法的工作所构成.状态变量的约束在本质上是积分类型.同状态逐点受限问题不同,通常这类问题的解具有较高的正则性,所以可以预期能得到一些有限元方法的成果.然而,限于作者的知识,到目前为止还很少有对此类问题作系统有限元分析的工作. 我们发展了一系列的技巧去研究这些不同类型的问题.显然,我们在研究过程中使用的技巧和前人的完全不同.下面我们逐章的介绍论文的创新点: 在第二章中,讨论了积分状态受限的最优控制问题.首先,我们证明了Lagrange乘子是一个实数,这一点为我们的数值分析奠定了基础.其次,我们得到了有限元解的误差先验估计.再次,通过使用一个L~2投影,我们得到了一些超收敛性的结果.并且利用这些结果,得出了最优的L~2和L~∞模误差估计.最后,我们提出了一个简单但有效的梯度投影算法,并且证明了算法的收敛性.所有的结论都是基于使用多套网格,这种方式特别适合处理控制和状态具有不同奇性的问题. 在第三章中,讨论了L~2模状态受限的最优控制问题.首先,我们证明了Lagrange乘子满足:λ=ty,其中t是一个实数,而y是状态.其次,我们得到了有限元解的误差先验估计.再次,通过使用一个L~2投影,我们得到了一些超收敛性的结果.并且利用这些结果,得出了最优的L~2和L~∞模误差估计.最后,我们给出了相应的梯度投影算法,并且证明了算法的收敛性.所有的结论也是基于使用多套网格. 对于状态积分受限和L~2模受限的最优控制问题,第四章研究它们相应的自适应有限元方法.我们分别得到了这两类问题的等价的后验误差估计子.这些估计子特别适宜应用于多套自适应网格,去捕捉控制和状态的不同奇性分布. 在第五章中,我们讨论了H~1模状态受限的最优控制问题.首先,证明了Lagrange乘子满足:λ=t(u+y),其中t是一个实数,u,y分别是控制和状态.其次,我们得到了有限元解的先验误差估计.最后,我们给出了相应的梯度投影算法,并且证明了算法的收敛性.所有的结论也是基于使用多套网格. 基于第二章的一些结论,我们在第六章研究了一个积分形式控制和状态同时受限的最优控制问题.我们得到了有限元解的收敛性结论和误差先验估计.给出了两类鞍点搜索算法来处理同时受限的最优控制问题,并且证明了算法的收敛性.所有的结论也是基于使用多套网格. 在第七章中,我们讨论了一个目标泛函不带罚项的L~2模控制受限的最优控制问题.首先,我们证明了伴状态满足:p=tu,其中t是一个实数,u是控制.其次,我们得到了有限元解的收敛性结论和误差先验估计.最后,我们给出相应的梯度投影算法,并且证明了算法的收敛性. 在每一章中,我们都通过数值试验去验证理论分析的结果.


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