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《山东大学》 2009年
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非可加概率和倒向随机微分方程的研究

李文娟  
【摘要】: 非可加集合函数,比如外测度,早在经典测度理论的初期就已出现.经典测度理论主要研究可数可加集合函数和更一般的有限可加集合函数.Choquet于1953年最早的提出了非可加集合函数理论,即他的容度理论.这个理论无论在数学,还是科学技术的其它不同领域都产生了巨大的影响.非可加集合函数应用广泛,在经济数学,决策理论,和人工智能等不同领域被叫作不同的名字,比如合作博弈,容度,或者模糊测度.近年来,很多学者深入研究了不同类型的非可加集合函数,比如上概率,信念函数,二次交替容度,零可加集合函数,以及其它各种形式的集合函数(见[20],[31],[49],[84],[88]等).从倒向随机微分方程引出的g-概率就是其中之一.Pardoux和Peng[69]引入了一类倒向随机微分方程,并且证明了其解的存在唯一性.自此,倒向随机微分方程不仅在其自身理论方面得到了迅猛的发展(见[26],[50]等),在金融数学和经济数学中也成为一强有力的工具(见[58], [59]等).Peng[71]通过倒向随机微分方程引进了g-期望.在生成元g和终端值ξ满足一定的可积条件下,随机变量ξ的g-期望保持了经典数学期望除线性之外的其它一些基本性质.由g-期望自然的可以定义一类非可加概率:g-概率. 本文致力于非可加概率和倒向随机微分方程的研究.主要结果如下: 1.在上概率和二次交替容度下,分别证明了两两负相关随机变量序列的大数定律. 2.研究了g-概率的二次交替性,证明了g-概率的切比雪夫不等式,g-概率下的大数定律,介绍了g-概率下随机变量的方差,相关性和相关系数的定义及其性质. 3.给出了广义的变分公式,并且利用倒向随机微分方程的方法证明了一些结论. 本文共包括三章,下面给出每一章的主要内容. 第一章,我们研究容度下的大数定律.我们考虑了两两负相关随机变量序列,分别证明了在上概率和二次交替容度下的大数定律.对于上概率,我们自然的想到利用经典测度理论中的已有结果,得出我们的结论.对于二次交替容度,由于它对应的Choquet积分具有次可加性,通过建立非可加概率下的切比雪夫不等式和波雷尔-坎特利引理,得到了更强的结果.我们可以看到,对上概率来说,极限值在一个区间内,但是对于二次交替容度,极限值仍旧是一个数.下面给出本章的核心定理. 下面的两个定理分别给出两两负相关随机变量序列在上概率下的强、弱大数定律. 定理1.4.3令V是一个连续的上概率,C是对应的Choquet积分,{X_n}_(n∈N)是关于V两两负相关的随机变量序列.假设对所有的n,存在常数M,使得C[X_n~2]≤M.记S_n=(?).那么 定理1.4.6在定理1.4.3的相同条件下,对(?)>0,有 下面的两个定理分别给出了两两负相关随机变量序列在二次交替容度下的弱、强大数定律. 定理1.5.3令V是一个二次交替容度,C是对应的Choquet积分,{X_n}_(n∈N)是关于V两两负相关随的机变量序列.假设对所有的n,都有C[X_n]=0,且存在常数M,使得C[X_N~2]≤M.记S_n=(?).那么对(?)0,有 定理1.5.9令V是一个连续的二次交替容度,C是对应的Choquet积分,{X_n}_(n∈N)是关于V两两负相关的随机变量序列.假设对所有的n,都有C[X_n]=0,而且存在常数M,使得C[X_n~2]≤M.记S_n=(?).那么 第二章,我们研究从倒向随机微分方程引入的一类非可加概率:g-概率.Pardoux和Peng[69]证明了在函数g满足假设(H1):平方可积条件,和(H2):Lipschitz条件下,下面的倒向随机微分方程存在唯一的适应解.如果函数g还满足假设(H3):对任意的(y,t),g(y,0,t)=0,那么y_0(ξ),记为ε_g[ξ],称为ξ的g-期望.特别的对于事件A,ε_g[I_A],记为P_g(A),称为A的g-概率.显而易见,g-概率是一类容度.本章围绕g-概率的性质,四个方面展开我们的研究.倒向随机微分方程可以作为研究g-概率的一个有利工具,这是其它非可加概率所不及的. 首先,我们给出g-概率和二次交替容度的关系.目前对于容度的研究大多致力于二次交替容度.从以往对于g-概率和二次交替容度关系的研究,我们看到很难建立它们之间的一个等价关系.但是当g是一个奇函数的时候,可以证明,如果g-概率是二次交替的,那么它一定是线性的. 定理2.2.6假设函数g满足条件(H2)和(H3),且g是一个奇函数.那么下面的两个条件等价: (1)P_g是二次交替的. (2)P_g是线性的. 其次,我们考虑切比雪夫不等式.切比雪夫不等式在证明各种大数定律中起到了基本的作用,是现代概率理论中一个重要的工具.我们自然的要问:在什么样的假设条件下,g-概率也满足切比雪夫不等式?在这章,我们就要解决这个问题.在函数g满足(H2)和(H3)的条件下,如果g还满足假设条件(H):对任意的(y,z,t),λ≥0,g(λy,λz,t)=λg(y,z,t),那么g-概率满足切比雪夫不等式.在同样的条件下,用类似的方法可以证明g-概率的马尔可夫不等式和指数不等式. 定理2.3.4(切比雪夫不等式)假设ξ~2∈L~2(Ω,F,P),函数g满足假设条件(H2),(H3)和(H).那么g-概率的科比雪夫不等式成立,即对(?)>0, 定理2.3.6令|ξ|~r∈L~2(Ω,F,P),实数c>0,e~(cη)∈L~2(Ω,F,P).假设函数g满足条件(H2),(H3)和(H),那么g-概率的马尔可夫不等式成立:g-概率的指数不等式成立: 基于切比雪夫不等式,如果g还满足假设(H4):次线性性,g-概率的单边的切比雪夫不等式成立. 定理2.3.7(单边切比雪夫不等式)假设ξ~2∈L~2(Ω,F,P),ε_g[ξ]=0,函数g满足假设(H2),(H3)和(H4),那么g-概率的单边科比雪夫不等式成立.即若a>0,有若a<0,有 再次,我们研究随机变量序列在g-概率下广义的大数定律.在倒向随机微分方程的理论中,一个重要的概率集合是其中v_t是F_(t-)适应的,μ是假设条件(H2)中的Lipschitz常数.我们的证明方法关键就在于给定的这个概率集合P.我们讨论了g-概率下广义的大数定律和P中概率下广义的大数定律的关系,从而得到了这样的结论:如果想确立g-概率下的大数定律,我们只需要研究P中概率测度下对应的大数定律. 定理2.4.16令P_g是g-概率,{X_n}_(n∈N)是L~2(Ω,F,P)中的随机变量序列.假设存在P中概率测度Q~0,使得{X_n}_(n∈N)在Q~0下服从广义下的弱(强)大数定律,那么{X_n}_(n∈N)在P_g下服从广义下的弱(强)大数定律. 定理2.4.18令P_g是g-概率,{X_n}_(n∈N)是L~2(Ω,F,P)中的随机变量序列.假设{X_n}_(n∈N)在P_g下服从广义下的弱(强)大数定律,那么对于P中任意的概率测度Q,都有{X_n}_(n∈N)在Q下服从广义下的弱(强)大数定律. 切比雪夫不等式在证明各种形式的大数定律中起了重要的作用.基于我们得到的g-概率下的切比雪夫不等式,下面给出由其推导出的g-概率下的一个弱大数定律. 定理2.4.23令{X_n}_(n∈N)是L~2(Ω,F,P)中的随机变量序列.假设函数g满足条件(H2),(H3),且g是正齐的.记S_n=(?).如果当n→∞时,(?)ε_g[(S_n-ε_g[S_n])~2]→0.那么{X_n}_(n∈N)在g-概率下服从弱大数定律.即,对(?)0, 在第二章的最后,我们引入了在g-期望的框架下,随机变量的方差,相关性和相关系数,给出了它们的基本性质.我们深入研究了这些性质在g-期望这种非线性情况下和经典的线性情况下的异同. 定义2.5.13令ξ是属于L~4(Ω,F,P)的随机变量.ξ在g-期望下的方差定义为 下面的定理说明了在g满足(H2)-(H4)的条件下,一个随机变量的可能取值与其它常数在g-期望下的平方距离可能会比方差小.但是,其方差或者距离-ε_g[-ξ]的扰动比距离区间[-ε_g[-ξ],ε_g[ξ]]之外的常数的扰动总是要小. 定理2.5.16令ξ是属于L~4(Ω,F,P)的随机变量.假设函数9满足条件(H2)-(H4).那么对c≥ε_g[ξ],有对c≤-ε_g[-ξ],有 我们给出两个随机变量相关性的定义,并且研究了一类特殊形式的随机变量的相关性. 定义2.5.19令ξ,η是属于L~4(Ω,F,P)的随机变量.ξ和η在g-期望下的协方差定义为 定义2.5.21令ξ,η是属于L~4(Ω,F,P)的随机变量.我们称ξ和η是正相关的,如果Cov_g(ξ,η)≥0;是负相关的,如果Cov_g(ξ,η)≤0;是不相关的,如果Cov_g(ξ,η)=0. 定理2.5.25假设g满足条件(H2)-(H4).令Φ_1(X_T~1)和Φ_2(X_T~2)是由(2.25)定义的随机变量.假设Φ_1和Φ_2具有相同的单调性,且σ_1(t,X_t~1)≥0,σ_2(t,X_t~2)≥0.那么Φ_1(X_T~1)和Φ_2(X_T~2)是正相关的,即 定义2.5.28令ξ,η是属于L~4(Ω,F,P)的随机变量.ξ和η在g-期望下的相关系数定义为 假设函数g满足条件(H2)-(H4)和(H5):对所有的λ,g(λz)≥λg(z).我们证明了两个随机变量的相关系数在-1和1之间,而且两个随机变量的正的线性关系等价于它们的相关系数是1. 定理2.5.31令ξ,η是L~4(Ω,F,P)中的随机变量.假设函数g满足条件(H2)-(H5).那么(2)ρ_(ξ,η)=1(?)存在常数a0,b,使得P(η=aξ+b)=1. 第三章,我们用一个具有二次增长系数的倒向随机微分方程其中ξ和h(y,z,t)=(?)g(e~y,e~yz,t)满足一定的假设条件,证明更一般的变分公式其中ε_g[·]是由Peng[71]引入的g-期望,n~Q(·)是满足一个随机微分方程的过程.经典的变分公式在这里是当g=0时的一个特殊情况. 定理3.3.2令ξ是(Ω,F)上一个有界可测随机变量,函数g满足假设条件(H2)和(H3),n~Q(·)是满足随机微分方程(3.4)的随机过程.下面结果成立: (a)我们有一般的变分公式 (b)上面等式中的最小在Q~*处唯一达到,且 通过倒向随机微分方程的方法,我们还可以得到[9]中标准空间下对布朗运动的某些函数的变分表示其中A是所有循序可测函数集合. 定理3.3.3令f是一个有界波雷尔可测的函数,从(C[0,1]:R)映射到R.(Y,Z)是当ξ=-f(W)时倒向随机微分方程(3.2)的解.那么 定理3.3.4令f是一个有界波雷尔可测的函数,从(C[0,1]:R)映射到R.那么我们有变分表示
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2009
【分类号】:O211.63

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【引证文献】
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