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分数阶微积分及其在分数阶量子力学中的应用

董建平  
【摘要】: 本文主要研究分数阶微积分及其在分数阶量子力学中的应用,共由四章组成:第一章简要介绍分数阶微分及其应用,以及文中将用到的一些基本知识;第二章和第三章研究由空间分数阶薛定谔方程所描述的空间分数阶量子体系;在最后一章中,我们给出由时空分数阶薛定谔方程所描述的时空分数阶量子体系的一些特性. 第一章首先介绍分数阶微积分的历史及其发展情况,然后给出几种常用的以及本文中会用到的分数阶算子,例如:Riemann-Liouville(简称R-L),Caputo和Riesz分数阶算子.此外,对两类特殊函数和它们的基本性质也进行了叙述,这些特殊函数常常是很多分数阶微分方程的基本解.这两类特殊函数分别是Mittag-Leffler型函数(包括Mittag-Leffler函数、包含两参数、三参数以及四参数的广义Mittag-Leffler函数),还有Fox H-函数.应用数学以及统计学中的几乎所有特殊函数,例如:Mittag-Leffler型函数、广义超几何函数、广义贝塞尔函数、Meijer的G函数等等,都是Fox H-函数的参数取特殊值时的表达式.在本章的最后一节中,我们较详细的介绍了分数阶微积分在当前非线性科学中复杂系统的各个领域中的应用. 第二章主要研究线性势场、δ势阱以及Coulomb势场中粒子所满足的一维空间分数阶薛定谔方程.借助于傅立叶变换,我们给出动量表象下的空间分数阶薛定谔方程.再利用Mellin变换及其逆变换,得出粒子在线性势场中的波函数及其能级.粒子波函数由H函数表示,利用H函数的零点,可以计算粒子的能级.δ势阱中粒子的波函数同样由H函数表示.我们发现同整数阶量子力学情形类似,δ势阱中只对偶宇称态的粒子起作用且粒子只有一个能级,奇宇称态的粒子不受该势阱作用,仍然像自由粒子一样运动.研究粒子在Coulomb势场的运动时,给出了粒子波函数的积分形式,并且证明了Laskin的文献[Phys.Rev.E 66,056108(2002)]中给出的粒子能级满足一个关于H函数的无穷极限的等式.本章的所有结果都包含标准量子力学中的情形作为特殊情况。 更进一步,利用量纲分析法,我们给出分数阶量子力学的一个未定参数D_α的一种具体数学表达式.随后,画出两幅图像来展示α(1α≤2)的变化对线性势以及δ势阱中的粒子波函数的影响.这里α是空间分数阶薛定谔方程的阶数,也代表L(?)vy类量子力学路径的分形维数.通过观察这些图像,我们发现α越小,线性势下粒子的波函数振荡越快,其振幅越大周期越短,而δ势阱中粒子的波函数衰减越快. 在第三章中,通过研究空间分数阶薛定谔方程,可得出一个结论:在求解分数阶量子力学中的分数阶薛定谔方程时,应该考虑波函数的一种分数阶导数的连续性或者间断性条件,这如同在标准量子力学中考虑波函数的1阶导数的连续性或者间断性条件来求解标准薛定谔方程.这种分数阶导数的定义为V_α=(-h~2△)~(α/2-1(?)).如果势函数在任何固定区域内取有限值,则V_αφ(x)(φ(x)表示波函数)处处连续;如果势函数在某些点为无穷,则只要波函数在这些点的一个小邻域内非零V_αφ(x)就在这些点处间断.由此结论出发,我们研究了有限方形势场,周期性势场以及δ势中粒子满足的分数阶薛定谔方程. 在标准量子力学中,研究有限方形势场时,仅能分别得到一种奇宇称态和偶宇称态波函数.但在分数阶量子力学中,我们分别得到两种类型的奇偶宇称态.这些波函数的叠加又可以构造更多的具有奇偶宇称的波函数.与这些波函数相应的能量方程也被导出,并利用图解法进行求解. 我们验证了分数阶量子力学中有关周期势场的Bloch定理的正确性,其与整数阶量子力学中的Bloch定理具有相同的形式,并证明出分数阶量子力学中周期势场中粒子能级也具有“能带结构”.在研究“能带结构”时发现,当周期势场下的分数阶薛定谔方程具有不止一个相互线性无关的实根时,波函数的一阶导数是不连续的. 我们给出δ势中粒子波函数的分数阶导数需满足的跳跃(间断性)条件.借助于此条件,研究了几种δ势场.对δ势阱的研究得到粒子波函数的另外一种以初等函数表述的表达式,这个表达式比第二章给出的H函数形式的表达式更实用更有效.我们还研究了粒子贯穿δ势垒以及分数阶概率流密度的问题并得出结论:尽管V_αφ(x)在原点处间断,概率流密度函数仍然处处连续.在本章最后,我们研究了Dirac梳,并在图 3.3中展示了粒子能量的能带结构,观察图形可知参数α对能带结构的影响:α愈大,各个能带愈窄. 第四章基于Laskin的空间分数阶薛定谔方程建立了一种包含时间Caputo导数和空间Riesz量子分数阶导数的时空分数阶薛定谔方程.这个新的时空分数阶方程为这里 本章我们用这个新方程研究了与时间无关的势场下时空分数阶量子体系中的时间演化规律,分别就时间分数阶导数在0到1之间以及1到2之间两种情况进行了讨论。对这个时空分数阶薛定谔方程进行变量分离得到一个空间方程和一个时间方程,再分别求解这两个方程可得原方程的通解,该个通解由一些振荡项和一些衰减项组成. 利用分数阶算子的性质,我们研究了时空分数阶量子体系中的非马尔可夫时间演化规律:导出了力学量的时间演化公式,并证明了时空分数阶量子体系中不存在守恒量,还给出了一种Mittag-Leffler型的波函数时间演化算子,然后建立了包含分数阶算子的Heisenberg方程.所有这些结果都是标准量子力学的推广. 在分析当时间趋于无穷时粒子总概率和能级的极限时,发现这些极限值不仅与时间导数的阶数有关,还与空间方程的本征值的符号(正或者负)有关.当空间方程的本征值为正数时,总概率和能级的具有有限的极限值,而且总概率极限值可能大于或者小于1,这表明,由时空分数阶薛定谔方程描述的量子体系中概率不守恒,势场可能释放或者吸收粒子,但这种释放或者吸收的行为越来越弱,以至整个量子系统最终能达到一些具有非零总概率和非零能级的稳定状态.进一步研究表明,当0β1(β表示时间分数阶导数的阶数)时,总概率的时间极限必为非零有限值,而当1β2时在某些特殊情况下(可参考本文第60页§4.4中的一些结论)可能为零.因此,当空间方程的本征值为正,只有1β2时,时空分数阶量子体系中的粒子才有可能完全被势场吸收.当空间方程的本征值为负数时,若0β1则总概率和能级的时间极限均为零,意味着粒子最终完全被势场吸收;若1β2,则它们的极限值为无穷,表明此时势场始终释放粒子,从而导致量子体系不可能达到稳态. 从上述结论可以看出,所有时间分数阶量子体系的基本特征是概率不守恒,无论空间项是否为分数阶.换句话说,在薛定谔方程中引入时间分数阶导数会导致概率不守恒.


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