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倒向随机微分方程和Monte-Carlo方法在期权和期货上的应用

罗晨曦  
【摘要】: 近年来,随着金融市场复杂度的提高,金融市场的活跃和现货市场的剧烈波动,越来越多的人们关注衍生品市场,而衍生品市场两种基本研究在于为产品定价和如何套期保值。除了标准期权之外,为了满足市场和客户的不同要求,也为了规避自己所面临的风险,场外市场诞生了许多新型的非标准化的衍生证券,如何计算这些非标准化的衍生证券的价格成为众多金融公司所关注的问题。这些非标准花的衍生证券大多依赖路径,定价方式和传统的欧式期权有较大差异,定价问题变得较为复杂。 本文利用不同的方法研究标准期权和奇异期权的定价,一种方法是倒向随机微分方程方法,一种是Monte-Carlo方法。对标准欧式期权和两种典型的奇异期权进行数值计算并加以比较。因为这些奇异期权实际上是标准期权的创新,因此和标准期权也有很大的关系。本文的工作就以上两种方法展开,具体来看: 本文首先介绍金融市场的一些基本知识,给出活跃在金融市场中的各种金融工具的基本描述。回顾相关研究方法,并给与简要介绍,然后阐述本文研究思路和主要内容。 第二章介绍基本数学工具的在期权定价问题上数学模型的理论基础,无套利定价问题是最常用的一种模型的理论基础,后文中我们所介绍的两种方法都基于此理论展开讨论。并给出常见的几种奇异期权的表达形式,方便后文中给出的实例计算的理解。 第三章是倒向随机微分方程方法提供较高精度的数值计算方法,数值方法的基础是倒向随机微分方程和偏微分方程的联系而引发出的许多优良的性质,利用倒向随机微分方程的马尔科夫性质和Newton-Hermite积分公式,得到倒向随机微分方程的数值算法。然后举几个例子说明倒向随机微分方程的高精度性,并对标准欧式期权和两值期权进行数值计算。 第四章是Monte-Carlo方法的原理和计算方法,对标准欧式期权,亚式期权和两值期权用Monte-Carlo方法计算,并和倒向随机微分方程计算方法加以比较。这两种方法各有千秋,对具体问题具体分析进而选择较为合适的计算方法。倒向随机微分方程方法计算精度较高,数学形式简洁,计算速度快,Monte-Carlo方法计算较为简单方便,但是缺点是精度不高而且计算量大,导致计算时间较长。而且Monte-Carlo方法应用上较为灵活,不仅仅可以解决定价问题,还可以借用定价的思想将无风险套利的套利成本计算出来,是本文一个创新之处。 本文最后阐述解决上述问题的意义,并对本文总结和有待解决的问题展望。


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