不含相邻短圈的平面图的全染色

【摘要】： 本文考虑的图均为有限、简单、无向图。对于任意一个图G,它的顶点集、边集、面集、最小度和最大度分别用V(G)、E(G)、F(G)、δ(G)和Δ(G)来表示。 图G的一个正常全κ-染色是从V(G)∪E(G)到颜色集{1,2,3…κ)的一个映射λ,它使得任意相邻接或关联的元素x,y∈V(G)∪E(G),都有λ(x)≠λ(y)。如果图G有一个正常全κ-染色,则称图G是全κ-可染色的,定义χ_T(G)=min{κ|G是全κ-可染色的}为图G的全色数。显然,对任意图G,都有χ_T(G)≥Δ(G)+1。Behzad和Vizing在1965年分别独立提出了下面猜想: 全染色猜想(TCC):任意图G,都满足χ_T(G)≤Δ(G)+2。 对于一般的图,人们已经证明当Δ(G)≤5时,TCC猜想成立。对于平面图,已经证明当Δ(G)≥7时,TCC猜想成立.从而全染色猜想对平面图只剩Δ(G)=6的情形尚未证明。对任意图G,如果χ_T(G)=Δ(G)+1,则称G是第Ⅰ类图;如果χ_T(G)=Δ(G)+2,则称G是第Ⅱ类图。目前,已经证明如果图G是Δ(G)≥9的平面图,则G是第Ⅰ类图. 本文中我们主要研究不含相邻短圈的平面图的全染色问题,其中的短圈是指长度小于等于5的圈.我们通过对顶点和面上的值进行重新分配,运用欧拉公式证明了若G是Δ(G)=6的平面图,且G中不含相邻的短圈,则χ_T(G)≤8;若G是Δ(G)=8的平面图,且G中不含相邻的短圈,则G是第Ⅰ类图。