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Tikhonov正则法在解决不适定问题的应用

李鹏飞  
【摘要】: 应用Tikhonov正则化方法解决线性不适定问题F(x)=y时,引人Tikhonov函数:J_α(x)=‖y~δ—F(x)‖~2+α‖x‖~2由Tikhonov正则化原理,我们知道函数J_α(x)的最小值就是方程的解。且我们通过迭代法来寻找J_α(x)的最小值, x_α~δ=(F~*F+αI)~(-1)F~*y~δ 对于迭代解x_α~δ到精确解x的收敛性与收敛速度,有如下结论: (1).令x=k~*z∈k~*Y,且‖z‖≤E,选取α(δ)=cδ/E,c>0,则有‖x_α~δ—x‖=O(δ~(1/2)); (2).令x=k~*kz∈k~*k(X),且‖z‖≤E,选取α(δ)=c(δ/E)~(2/3),c>0,则有‖x_α~δ—x‖=O(δ~(2/3)); (3).在用Tikhonov正则化法解决线性问题时,迭代序列{x_α~δ}最快以O(δ~(2/3))的速度收敛到精确解。 在将上述方法推广到非线性不适定问题时,由于非线性问题的不适定性,方程的解往往不连续依赖于数据条件或者不是唯一的以及解的存在性。 为了克服方程的解往往不连续依赖于数据条件问题,在本文中,我们都做如下假设: (ⅰ).F是连续的; (ⅱ).F是弱闭的,即对于任意序列{x_n}(?)D(F),由x_n在X中弱收敛于x且F(x_n)在Y中弱收敛于y,则x∈D(F),且F(x)=y. 为了解决解的唯一性问题,我们将Tikhonov函数写成如下形式:J_α(x)=‖y~δ—F(x)‖~2+α‖x—x~*‖~2x~+取x~*-最小范数解,即x~+=min_(x∈D(F)){‖x—x~*‖:F(x)=y}. 在本文以后的讨论中,我们假定方程的x~*-最小范数解总是存在的,这由方程解的存在性与F的弱闭性可以保证。 目前对于Tikhonov正则化在非线性不适定问题中的研究,都是通过对初始条件和边界条件做了特别的限定之后,来分析其收敛性与收敛速度的。本文总结了前人所做的研究,对初始条件和边界条件做了分析、研究与整理,并通过与线性问题的对比,得出了Tikhonov正则法在线性问题与非线性问题中统一性,整理了对于初始条件和边界条件的一般性条件假设:光滑性假设与非线性假设(本文的假设2.0.1-2.0.5).且基于这些假设,特别是非线性条件下,我们得到了Tikhonov正则法的收敛性结论: 定理0.0.1.令x_α~δ是非线性不适定问题F(x)=y的解,存在υ∈Y,使得:x~+—x~*=F′(x~+)~*υ,且存在w∈Y,p≥1,使得x~+—x~*=F′(x~+)~*(F′(x~+)F′(x~+)~*)~(p-1/2)w在p∈[1,2]上成立。选取半径r,使得B_r(x~+)(?)D(F),在球域B_r(x~+)内,Frechet导数F′(·)是Lispschitz连续的,即存在常数L≥0,满足:‖F′(x)—F′(x_0)‖≤L‖x—x_0‖,(?)x,x_0∈B_r(x~+)在r=δ/α~(1/2)+2‖x~+—x~*‖上成立,且L‖υ‖≤γ<1,则有:且若迭代因子α选取:α=O(δ2/p+1),则‖x~+—x_α~δ‖=O(δp/p+1))。 由此可以看出,在合适的光滑性假设与非线性假设的条件下,非线性问题的解的光滑性与收敛性与边界条件与初始条件密切相关,非线性问题的Tikhonov正则法也可以得到类似于线性问题的一系列结论: (1)若p=1,则α=O(δ),‖x~+—x_α~δ‖=O(δ~(1/2)); (2)若1≤p≤2,则α=O(δ2/p+1)),‖x~+—x_α~δ‖=O(δp/p+1))。 上述定理往往被称为正则化因子的先验准则,适用于分析Tikhonov正则法的收敛性以及相应的稳定性(解的光滑性)与渐进速率(收敛性)分析。为了数值计算的应用,本文在上述定理的基础上给出了正则化因子的一种选择策略,即后验准则: 定理0.0.2.假设上述定理成立,令:其中α_j∈D_M(α)且C_z≥1/(1-L‖υ‖)~(1/2),则误差估计‖x~+—x_(i_+)‖≤cδp/p+1成立,c是与δ无关的常数。 本文的大致结构如下,在第一章中我们介绍了不适定问题和Tikhonov正则法;第二章为解决线性不适定问题做了几点重要的假设;第三章给出了在第二章的假设条件下,非线性不适定问题的Tikhonov正则法的收敛性与收敛速度的分析;第四章证明了第三章中的结论;第五章是本文的重点,在本章我们给出了非线性不适定问题的Tikhonov正则法的在数值计算上的应用,包括基于平衡原则的后验准则,后验准则的最优原则和准最优原则,以及自适应参数选择的数值实现。


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