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倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计

王金磊  
【摘要】: 倒向随机微分方程(BSDE)是一个相对比较新的研究方向。1973年Bismut[9]研究的线性形式可以看作是著名的Girsanov定理的推广。非线性BSDE的概念是由Pardoux和Peng[60]在1990年引入的。Duffie和Epstein[28]于1992年独立引入经济模型中的随机微分效用概念,也可以看作某些特殊的BSDE的解。从那以后,关于BSDE的很多理论和应用结果得到了发展,其中包括:反射倒向随机微分方程、正倒向随机微分方程、偏微分方程与倒向随机微分方程的联系、随机控制、数理金融、非线性期望和非线性鞅论、递归效用和风险敏感效用以及随机微分几何等。在El Karoui和Mazliak[30],Ma和Yong[5l],Yong和zhou[86]写的书以及综述论文El Karoui,Peng和Quenez[33]中,详细介绍了BSDE的理论和在数理金融和随机控制中的应用。 倒向随机微分方程的存在唯一性意味着我们能够明确的解决现在应怎样去做以实现一个给定的将来目标。但是对于一个具体的倒向方程如何算出它的解来对一般情况而言仍是一个未解决的问题。在实际应用中能够显式解出的BSDE是很少见的,因此我们需要计算BSDE的数值解。 相对于正向随机微分方程的数值解法,无论是从结果的丰富程度还是从算法实现的难易程度来看,BSDE都要落后很多。出现这一问题不外乎有以下两个原因:首先,正向随机微分方程与倒向随机微分方程在结构上有本质的区别,从而倒向随机微分方程的数值方法不能完全套用正向随机微分方程已有的数值方法。其次,从应用的角度讲,正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程,而倒向随机微分方程则主要关心在有随机干扰的环境中如何使一个系统达到预期的目标。 在过去的十几年里,许多学者做出了很大的努力,在BSDE数值解法的研究中取得了一系列的成果。这些数值方法按照其求解原理可以划分为两大类:第一类方法主要通过数值求解与BSDE相对应的拟线性偏微分方程;另一类算法直接对随机问题按时间进行倒向计算。2006年,Zhao,Chen和Peng[89]提出了解BSDE的θ格式,该方法结合PDE数值解法的特点,使用随机的思想来解释高精度的差分方法,对BSDE进行时间空间离散,用Monte Carlo方法结合插值近似计算条件数学期望,在数值实验中得到了较好的结果。 本文主要研究了BSDE的几种数值方法,在Zhao,Chen和Peng[89]的基础上,离散BSDE时用Gauss-Hermite积分替代Monte Carlo方法近似条件期望,并得到了θ格式的误差估计;提出了一种新的Crank-Nicolson格式并进行误差估计;对一种更高阶的Adams方法也提出了BSDE的离散格式且得到了格式的收敛误差。下面我们列出本文的主要结果。 第一章:简要介绍本文中所讨论问题的背景及总体思路,介绍了BSDE,Feynman-Kac公式的基本概念,对BSDE已有的数值解法进行了简要的回顾总结。 第二章:给出了BSDE(2-1)的θ格式的误差估计。证明了对一般的θ,格式一阶收敛,特别当θ=(?)时,格式二阶收敛。当θ=1时,我们得到θ格式对(2-1)的适应解(y_t,z_t)一阶收敛。在θ=(?)的情形,我们还得到解z_t的误差估计。 我们称下面两个解(?)的方程为离散BSDE(2-1)的θ格式: 对该格式的误差估计主要有下面的定理。 定理2.1.假设2.1成立,令y_t和y~n分别是BSDE(2-1)和θ格式(2-12)的解,那么对足够小的时间步长Δt_n,我们有其中C是一个正常数,它仅依赖于T,φ和f导数的上界和(2-3)的解u(t,x)。 定理2.3.假设2.1成立,令y~n(n=N,…,0)是θ格式(2-12)在θ=(?)时的解,y_t(0≤t≤T)是BSDE(2-1)的解,那么对足够小的时间步长Δt_n,我们有 定理2.4.假设2.1成立,令(y~n,z~n)(n=N,…,0)是θ格式(2-12)和(2-13)在θ=(?)时的解,(y_t,z_t)(0≤t≤T)是BSDE(2-1)的真实解,那么对足够小的时间步长Δt_n,我们有 全离散θ格式可以如下定义:给定随机变量y_i~N,i∈Z,寻找近似解(?)满足 全离散θ格式的误差为: 定理2.7.令(y_t,z_t)是BSDE(2-1)的解,(y_i~n,z_i~n)是通过线性多项式插值计算(?)的全离散格式(2-70)和(2-71)的解,那么在假设2.1下,对一般的θ∈[0,1]的全离散θ格式有特别的,对θ=(?)的全离散θ格式有对θ=1的全离散θ格式有 第三章:对一般的多维BSDE提出了一种新的Crank-Nicolson格式并进行误差估计,证明格式是二阶收敛的。在本章最后对第二章以及本章的数值格式进行了数值模拟。 对n=N,N-1,…,0和终端条件(?)和(?),称下面两个式子为BSDE(3-1)分量形式的Crank-Nicolson格式,这里(?)是矩阵(?)的第j列。写成矩阵形式为: Crank-Nicolson格式的误差估计有下面的定理。 定理3.1.假设2.1成立,那么对足够小的时间步长Δt_n,我们有误差估计其中y_t和y~n分别是BSDE(3-1)和Crank-Nicolson格式(3-18)和(3-19)的解,C是一个仅依赖于T,φ和f的导数的上界以及(3-4)的解u(t,x)的正常数。 定理3.2.令z_t和z~n分别是(3-15)和(3-21)的解,假设2.1成立,那么对足够小的时间步长Δt_n我们有 BSDE(3-1)的时间空间全离散Crank-Nicolson格式为:寻找(?),使得(y_i~n,z_i~n)满足 第四章:对一般形式的BSDE提出了Adams格式,对f不依赖于z的情形进行了误差估计,证明了Adams格式的高精度收敛。 对n=N-m,…,0,BSDE(4-1)的Adams格式为:终端值y~N由BSDE(4-1)的终端条件给出。 全离散Adams格式可以如下定义:给定随机变量y_i~B,先用Runge-Kutta方法求出(?)的值,然后寻找近似解(?)满足对生成元不依赖于z的BSDE的Adams格式的误差估计由下面两定理给出。 定理4.1.假设2.1成立并且假定(?),则对足够小的时间步长,我们有误差估计其中y_t和y~n分别是BSDE(4-1)和Adams格式(4-25)和(4-26)的解,C是一个仅依赖于T,函数φ,f和(1-4)的解u(t,x)上界的常数。 定理4.2.令z_t和z~n分别是(4-23)和(4-25)的解,假设2.1成立并且(?),则对足够小的时间步长我们有


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