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图的点可区别染色、列表染色和线性染色

刘彬  
【摘要】: 图论的研究已经有二百多年的历史,最早关于图论的文章是在1736年由Euler完成的,这篇文章解决了著名的哥尼斯堡七桥问题。自二十世纪六十年代以来,图论得到了迅猛发展,关于图论方面的结果大量涌现。一百多年以来,四色猜想一直引领着图论的发展,所以图的染色理论在图论研究中占有重要的地位.图的染色理论在最优化、计算机理论、网络设计等方面都有着重要的应用,例如在网络中的数据传输、Hessians矩阵的计算等方面。本文旨在讨论图的几类染色问题,如点可区别边染色、邻点可区别边染色、邻点可区别全染色、列表边染色、列表全染色和线性染色。 本文所考虑的图都是有限简单图,我们分别用V(G)和E(G)表示图G的顶点集和边集。图G的正常k-全染色是指用k种颜色对V(G)∪E(G)中的元素进行染色,使得相邻的或者相关联的两个元素染不同的颜色.使得图G存在正常的k-全染色的最小正整数k称为G的全色数,记作X″(G).类似地,如果我们只对图G的顶点或者边进行染色,那么就可以分别得到图G的点色数X(G)和边色数X′(G)。 接下来我们给出的三种染色都与非正规染色有关。对于一个正常的边染色,如果它满足任何两个不同的点所邻接的边染色集合不相同,那么就称这个染色是点可区别的。一个图G存在一个点可区别边染色所需要的最小颜色数称为该图的vde-色数,记作Xvd′(G)。一个k-邻点可区别边染色或者k-avd-染色是指图的一个正常边染色,它满足任何一对相邻的顶点都邻接不相同的颜色集合。一个图G存在一个avd-染色所需要的最小颜色数称为图G的avd-色数,记作Xa′(G).一个k-邻点可区别全染色或者k-adt-染色是指图的一个正常全染色,它满足任何一对相邻的顶点邻接的颜色集合均不同。一个图G存在一个adt-染色所需要的最小颜色数称为图的adt-色数,记作Xa″(G).本文给出了与这些染色有关的一些上界。本文讨论的另一个问题是列表染色。如果对于图G的每一条边e,我们都给定一个颜色集合L(e),那么这个映射L就称为图G的一个边安排。如果图G存在边染色(?)使得对任意边e∈E(G),都有(?)(e)∈L(e),则称图G是L-边可染的,或者称(?)是图G的一个L-边染色。对于图G的任意一个满足条件|L(e)|≥k的边安排L,其中e∈E(G)为G的任意一条边,如果G都是L-边可选择的,那么就称图G是k-边可选择的.使图G是k-边可选择的最小正整数k称为图G的列表边色数,记作Xl′(G).类似地,我们可以给出图G的列表色数Xl(G)和列表全色数Xl″(G),它们分别是把上述边染色换为对图G的顶点或者顶点和边进行染色。从上述定义中我们马上可以得到下列关系:Xl″(G)≥X′(G)≥△,Xl″(G)≥X″(G)≥△+1.本文主要讨论平面图的列表染色。对于图G的一个正常k-染色,如果它满足任意两个颜色集合的导出子图都是点不交的路的并,那么就称该染色是图G的一个线性k-染色。使得图G存在一个线性k-染色的最小正整数k称为图G的线性色数,记作lc(G).我们的目标是找到图G线性色数的一个较小的上界。 本文主要考虑图的几类染色问题。具体地说,我们主要讨论图的点可区别边染色、邻点可区别边染色、邻点可区别全染色、列表边染色、列表全染色和线性染色。本文分六章进行讨论。 在第一章,我们给出一个相对完整的简介:首先,我们介绍一些图论中的基本概念和定义;然后,我们给出本文所讨论的染色的定义和历史;最后我们给出了本文的主要结论。 在第二章,我们讨论了图的点可区别边染色.我们改进了Bazgan等人在文章[13]证明的一个结论,把其中的条件δ(G)n/3放宽到了σ2(G)≥2n/3。我们证明的基本方法是先给图G一个半-vde-染色,然后再用额外的几种颜色把它扩展到整个图G上去。 在第三章,我们讨论了图的邻点可区别边染色。首先,我们给出了周长不超过4的图的avd-色数的一个上界。然后我们考虑了几类3-可染的图,并给出了它们avd-色数的上界。 在第四章,我们讨论了周长不超过4的图的adt-色数,并给出了它的一个上界。 在第五章,我们讨论了平面图的全染色、列表边染色和列表全染色.我们给出了最大度△≥7的平面图的全色数的精确值,在最大度限制条件下的几类平面图的列表边色数和列表全色数的精确值,三角形距离不远的平面图的列表边色数和列表全色数的上界。 在第六章,我们考虑了平面图的线性染色,并给出了在围长限制条件下的几类平面的线性色数。


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