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自守L-函数的广义素数定理

唐恒才  
【摘要】: 一般来说,L-函数是一种生成函数,它们或者来源于算术、几何对象(比如定义在一个数域上的椭圆曲线),或者是来源于自守形式.根据Langlands纲领,任何一个一般的L-函数都可以分解为GLm(QA)上的自守表示的L-函数的乘积,并且对于任何自守L-函数Ramanujan-Petersson猜想都成立.因而,对于自守L-函数的研究具有非常重要的理论意义. 在本文中,我们将研究GLm(QA)和GLm(EA)上的自守表示所对应的自守L-函数的广义素数定理. 设π是GLm(QA)上一个自守的不可约的尖的酉表示,L(s,π)为其所对应的自守L-函数.当Rs1时,它可由局部因子的乘积给出(见Godement, Jacquet [11]):其中根据Langlands对应,这里p为素数,且απ(p,j)是一个与πp有关的复数. 为了把L(s,π)与素数联系起来,我们对其取对数导数可得其中ΛA(n)是von Mangoldt函数,并且曲[38]在广义黎曼猜想下给出了L(s,π)的素数定理,并且得到:对于集合(1,x),除去一个测度为logx的子集外,有 如果π′是GLm′(QA)上一个自守的不可约的尖的酉表示,类似地,我们定义L(s,π′),α′π′(p,i)和απ′(pk),这里i=1,…,m′.如果π和π′等价,则m=m′,并且对任意的p,{απ(p,j)}={απ′(p,i)}.因此,当π≌π′时,对于任意的n=pk,有aπ(n)=aπ′(n). 对如上定义的π和π′,我们有与之对应的Rankin-SelbergL-函数L(s,π×π′)(见Jacquet,Piatetski-Shapiro,Shalika[20]或Shahidi[43]).此L-函数由如下局部因子的乘积给出:其中同样地,我们有最近,刘和叶[31]研究了Rankin-SelbergL-函数的素数定理,即函数的渐进公式.他们的主要结果可概述为:如果π和π′至少有一个是自共轭的,则有 在本文第一章中,我们应用Rankin-SelbergL-函数L(s,π×π)的解析延拓、Euler乘积、函数方程及非零区域等性质,在已有结果的基础上证明了其对应的广义素数定理.考察其中k是一个正整数,pπ×π(n)是一个和π,(?)有关的复数.我们有如下结果: 定理1.1.设π是GLm(QA)上一个自守的不可约的尖的酉表示.如果π≌(?),则有其中复数aj,k(j=1,….,k-1)与π,(?)有关. 令E/Q是Galois扩张,扩张次数为l.设EA=∏′vEv为其所对应的adele环,其中v遍历E的所有位,并且∏′表示限制积.对每个素数p,都有E(?)QQp=(?)v|pEv.因为E/Q是Galois扩张,所以对所有的v|p,Ev是等价的.我们用lp表示维数,ep=ordv(p)表示分歧指数,fp表示剩余类次数.则lp=epfp且qv=pfp是Ev的剩余类.另外,E(?)Q R或者是⊕v|∞R,或者是⊕v|∞. 如上,假设(?)和(?)′分别是GLm(EA)和GLm′(EA)上自守的不可约的尖的酉表示.令L(s,(?)×(?))是其所对应的Rankin-SelbergL-函数.考虑最近,Gillespie和纪[9]研究了和式并且得到以下结果:如果(?)和(?)′至少有一个是自共轭的,则有在本文第二章中,我们考察其中k是一个正整数,并且ρ(?)×(?)(n)是一个和(?)和(?)有关的复数.应用第一章的理论和方法,我们得到 定理2.1.设(?)是GLm(EA)上一个自守的不可约的尖的酉表示.如果(?)≌(?),则其中复cj,k(j=1,…,k-1)与(?)和(?)有关. 在2009年,吕[29]研究了L-函数L(s,π)的Fourier系数的均值估计.即其中π在每个有限位p上是非分歧的,且ε0是一个任意小的数. 在本文第三章中,应用修改了的Landau引理以及代数数域上关于Ramanujan猜想的最新结果,我们给出了GLm(EA)上的L-函数L(s,(?))的Fourier系数的均值估计.我们的主要结果如下: 定理3.1设E/Q是Galois扩张,扩张次数为l.令(?)是GLm(EA)上一个自守的不可约的尖的酉表示,L(s,(?))是其所对应的自守L-函数,λ(?)(n)是其第n个Fourier系数.如果(?)在每个有限位p上是非分歧的,则对任意的ε0,有


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