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应变梯度弹性理论C~1自然单元法及其应用研究

聂志峰  
【摘要】: 许多微观实验表明,当变形特征长度在微米或者亚微米量级时,材料表现出强烈的尺寸效应。经典理论的本构关系中不包含任何尺度参数,无法解释在微米和亚微米量级实验中发现的尺寸效应现象。为了解释微构件尺寸效应现象和解决工程实践中遇到的微尺寸设计问题,人们建立了应变梯度理论。应变梯度理论考虑了应变梯度高阶张量对应变能密度函数的影响,在本构关系中引入了材料的特征长度尺寸,能够描述和解释微构件力学性能的尺寸效应现象。应变梯度理论的控制方程和边界条件非常复杂,直接求取解析解非常困难,因此数值方法是解决这类边值问题的重要手段。应变梯度理论有限元法直接构建C1连续单元比较困难,为了降低连续性要求,通常采用C0连续混合单元法,该方法存在自由度多、计算工作量大等弊端。应变梯度理论无网格法的优点在于容易构建高阶连续形函数,然而,基于移动最小二乘法的无网格法,形函数的构造需要矩阵的求逆运算,计算效率较低,另外,形函数不具有插值特性,引入本质边界条件需要作特殊处理。针对目前应变梯度理论无网格法存在的不足,构建一种高效、高精度和易于处理本质边界条件的应变梯度理论无网格法,能够为模拟微构件力学性能的尺寸效应提供更为有效的数值计算手段。论文主要内容和研究成果包括: 将C1自然邻近插值函数和基于移动最小二乘法的形函数应用于曲面拟合场合,对它们在计算精度、计算效率和数值稳定性等方面的区别进行了定量分析和比较。 将C1自然单元法应用于偶应力弹性理论,建立了偶应力弹性理论C1自然单元法,由于形函数的插值性,本质边界条件的处理非常简单。为了考察构建方法的收敛速度和计算精度,分析了具有理论解的方块单剪问题和中心圆孔无限大板应力集中问题。对于方块单剪问题,随着离散结点的增多,数值解很快收敛于理论解;由于Voronoi结构能够自动调整结点分布不规则在空间上的差异,规则结点和不规则结点情况下计算结果差别不大,数值稳定性较好。对于小孔应力集中问题,计算结果表明偶应力对小孔应力分布的影响与无限大板的受力情况有关,纯剪情况下的影响要比单轴拉伸情况下的影响大,双轴拉伸时则没有影响。偶应力的作用范围局限于小孔附近,远离小孔,其影响可以忽略不计。算例的数值解与理论解吻合得较好,表明构建方法具有良好的计算精度。 将C1自然单元法应用于全应变梯度弹性理论,建立了全应变梯度弹性理论C1自然单元法,由于形函数的插值性,可以直接施加本质边界条件对于接触双材料界面边界层效应问题,随着结点的增加,数值解很快收敛于理论解,Voronoi结构能够自动调整结点分布不均匀在空间上的差异,均匀结点和非均匀结点情况下的计算结果差别也不大,数值稳定性较好。对于开孔无限大板承受双轴拉伸时,当考虑应变梯度效应时,高阶应力对应力分布产生了影响,降低了小孔的应力集中系数。算例的数值解与理论解吻合得较好,表明构建方法的计算精度较高。 将应变梯度弹性理论C1自然单元法应用于MEMS中,分析了一些结构和受力较为复杂并且不易求得理论解的实际工程问题。以微夹持器的夹持臂和中心开孔微试件为研究对象,研究了考虑应变梯度效应时微弹簧结构尺寸对夹持臂弯曲刚度、微梁厚度对驱动电压的影响规律以及开孔形状和尺寸对微试件应力集中系数的影响规律,探讨了它们对材料特征长度的尺寸依赖性,计算结果能够为微构件的设计和实验研究提供依据。


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