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《山东大学》 2010年
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非线性数学期望及相关领域

胡明尚  
【摘要】: Pardoux-Peng(1990)首次考虑了如下形式的倒向随机微分方程(BSDE):并给出了解的存在唯一性.在对BSDE的性质深入研究的基础上,Peng(1997)基于BSDE的解提出了g-期望和条件g-期望的概念:设g满足条件(A1) Lipschitz条件和(A2)g(t,y,0)三0,称为ζ的g-期望和条件g-期望,其中(yt)t∈[0,T]为上述BSDE对应终端ζ的解.特别重要的,g-期望是第一个动态相容的非线性期望,而Choquet(1953)从容度出发提出的Choquet期望(也称Choquet积分)至今也没有做到动态相容.g-期望的一个特点是可以在一个概率框架下去讨论,Peng(2005)进一步提出了完全不需要概率框架的更一般的动态相容的非线性期望理论,开创性的提出了用非线性马氏链构造动态相容的非线性期望.特别的Peng(2004)考虑了股票市场波动率的不确定性,具体的构造了一类动态相容而非g-期望的例子,这可以看做G-期望理论的最初研究. Peng(2006)提出了G-正态分布,G-期望和G-布朗运动的概念,建立了基于G-布朗运动的随机积分,得到了相应的Ito公式,随机微分方程和倒向随机微分方程解的存在唯一性等一系列结果,创立了一套完整的理论框架.特别吸引人的地方是,在G-期望的理论框架下已经得到了一些很有趣的结果,出现了一些很有趣的方法,还有大量有趣的问题.另外我们指出G-期望是动态相容的次线性期望但不是g-期望,而g-期望可以看成G-期望的一种特殊情形.最近,Peng(2007,2008)研究了次线性期望下独立同分布序列的中心极限定理,令人惊奇的是其极限分布存在且是G-正态分布,这一结果表明G-正态分布是客观存在的,而且其在次线性期望中的地位可能比正态分布在线性期望中的地位更重要. 下面我们简要介绍一下G-期望领域的部分最近进展.Denis-Hu-Peng(2008)和Hu-Peng(2009)考虑了G-期望的表示定理和G-布朗运动的轨道语言;Bai-Buckdahn(2009)考虑了G-期望在风险度量中的应用;Xu-Zhang(2009)考虑了对鞅的随机积分和G-布朗运动的鞅刻画;Gao(2009)考虑了G-SDE解的轨道性质;Hu-Peng(2009)考虑了G-Levy过程;Li-Peng(2009)考虑了停时和更一般的G-Ito.公式;Peng(2007), Soner-Touzi-Zhang(2010), Song(2010)和Hu Ying-Peng(2010)考虑了G-鞅表示定理;等等. 本文深入系统地研究了动态相容的非线性期望理论中的一些基本问题,特别是G-期望中的一些基本问题,其中包括g-期望与Choquet期望的关系;G-正态分布的相关计算;G-期望的表示定理,G-布朗运动的轨道语言;G-Levy过程等.并在以下方面取得了明显进展: 一、第一章在g是确定性的条件下,得到了g-期望在全空间和在部分集合上等于Choquet期望的充要条件;在g是确定性的凸函数的条件下,得到了g-期望被Choquet期望控制的充要条件. (本章的g-期望与Choquet期望相等的部分结果发表于法国C. R. Acad. Sci.[40],g-期望被Choquet期望控制的结果发表于美国Statistics and Probability Letters[35].) Chen-Chen-Davison (2005)首次研究了g-期望在L2(FT)上等于Choquet期望的问题,在布朗运动的维数是1维的情形下得到了两者相等的充分必要条件是g-期望是经典的线性期望.一个自然的问题就是,上述结果对布朗运动的维数大于1时仍成立吗?能否用1维的处理方法去处理多维的问题? 我们在对Chen-Chen-Davison (2005)中所给的方法系统研究的基础上发现:该方法强列依赖于g的结构,在一维情形下,g仅由两个参数决定,但在多维的情形下,一个正齐的函数g是写不出其具体表达式的;另一方面,在多维的情形下,随机变量ζ=y1+WT1与η=y2+WT2不在是共单调的.这些都说明了1维的处理方法不在适用于多维的问题. 本章我们对此问题给出了一种新的处理办法,得到了本章的第一个主要结果: 定理1.3.12.设9是确定性的函数且满足条件(A1)和(A2),则g-期望在L2(FT)上等于Choquet期望的充要条件是g与y无关且关于z是线性的,即g-期望是经典的线性期望. 特别有趣的是我们的方法也完全适用于1维的情形,而且不要求9对时间t的连续性,这在Chen-Chen-Davison(2005)所给的方法中是做不到的.另外与Chen-Chen-Davison(2005)中所给的方法相比,我们的方法更简单,更直接,特别的还可以用于处理其它以前很难解决的问题,可以见我们后续的文章. 注意到Coquet-Hu-Memin-Peng(2002)和Delbaen-Peng-Rosazza Gianin(2009)对动态相容的非线性期望的研究表明:在一定条件下,动态相容的非线性期望就是g-期望.我们的上述结果进一步意味着Choquet期望在一定的条件下是不可能动态相容的,从而在研究动态相容的非线性期望时,我们不能加共单调可加这个条件,同时也说明了从期望出发研究是比较合理的. 本章的第二个主要结果是考虑g-期望在L2(FT)的一个子集上等于Choquet期望的充要条件.为此我们先简要回顾一下相应的空间: 记H为所有的ζ∈L2(FT)满足存在关于x的Lipschitz函数b(t,x):[0,T]×R→R和σ(t,z):[0,T]×R→+Rd使得ζ=XT,其中(Xt)t∈{0,T}是下述随机微分方程(SDE)的解:在此基础上记特别的集合H1和H2可以看成欧式期权头寸的集合.Chen-Sulem(2001)首次研究了g-期望在H1上等于Choquet期望的问题,在布朗运动的维数是1维的情形下得到了一个充要条件;在布朗运动的维数大于1的情形,Chen-Kulperger-Wei(2005)给出了一个充分条件. 在对这一问题进一步研究的基础上,我们发现Chen-Kulperger-Wei(2005)只考虑了倒向方程中z的符号,实际上,z与σ(t,Xt)还存在着一种结构关系,我们巧妙地运用这一关系得到了本章的第二个主要结果: 定理1.3.16.设g是确定性的函数且满足条件(A1)和(A2),则有 (ⅰ)g-期望在H1上等于Choquet期望的充要条件是g与y无关且关于z是正齐的,即g(l,λz)=λg(t,z),(?)λ≥0; (ⅱ)g-期望在H2上等于Choquet期望的充要条件是g与y无关且关于z是齐次的,即g(t,λz)=λg(t,z),(?)λ∈R. 特别需要指出的是对H2空间上的结果以前没人讨论。很有趣的是我们的结果对正齐函数,齐次函数,线性函数给出了一种解释。 本章最后我们进一步研究了g-期望在L2(FT)上被Choquet期望控制的条件,得到了本章的第三个主要结果: 定理1.4.3.设g是确定性的函数,满足条件(A1)和(A2),且与y无关,关于z是凸的,则对任给的ζ∈L2(FT)有εg[ζ]≤Cg[ζ]的充要条件是g关于z是正齐的且是次可加的. 本章我们系统的研究了g-期望的性质,这是第一个动态相容的非线性期望.我们希望通过g-期望的性质更好的认识更一般的动态相容的非线性期望的性质,特别是G-期望,同时也可以把g-期望做为一个很好的例子.这种想法在论文的第二章和第四章都有所体现. 二、第二章得到了G-正态随机变量奇次方分布的计算公式;证明了凸期望下的中心极限定理仍成立. (本章的部分结果已投Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series [38].) Peng(2006)给出了G-正态分布定义:随机变量X在次线性期望E下服从G-正态分布指u(t,x):=E[φ(x+t1/2X)]满足如下的G-热方程: 其中厅σ=E[X2],σ2=-E[-X2],记X服从N(0,[σ2,σ2]).特别的Peng(2006)中对凸函数和凹函数给出了如下的计算公式: ·若φ是凸函数,则有E[φ(X)]=Ep[φ(σζ)],其中ζ在线性期望EP下服从经典的标准正态分布; ·若φ是凹函数,则有E[φ(X)]=Ep[φ(σζ)],其中ζ在线性期望EP下服从经典的标准正态分布. 一个自然地问题就是对非凸非凹函数,特别对φ(x)=x2n+1这类最简单的非凸非凹函数,能否给出E[φ(X)]相应的计算公式? 本章的第一个主要结果就是考虑E[X2n+1]的计算,我们将求解G-热方程的问题转化为求解一个常微分方程的问题,进而得到了E[X2n+1]的相应计算公式.为此,我们记下面是本章的第一个主要结果: 定理2.3.7.设X服从N(0,[σ2,1]),σ∈[0,1),gn,hn由上式给出.记kn=E[X2n+1],我们有 (1)若σ∈(0,1),则kn满足如下方程: (2)若σ=0,则kn满足如下方程: 特别需要指出的是上述公式的计算顺序,首先由第一个式子得cn(这很容易由计算机程序实现,误差是可控的),代入第二个式子即得kn.我们希望我们的结果会对今后的有关G-正态分布的随机计算有所帮助,至少可以提供一个验证的例子. 我们的第二个主要结果是考虑凸期望下的中心极限定理,这部分研究深受Peng(2007,20081关于次线性期望下中心极限定理工作的启发.下面是我们的第二个主要结果: 定理2.4.13.设(α,H,E)为次线性期望空间,(Ω,H,E)为凸期望空间,且满足E被E控制.又设(Xi,Yi)i=1∞(?) H在厄和E下都是独立同分布序列,且满足:则有对任给的φ∈Cb.Lip(R)有其中(ζ,η)在E下服从G-分布,G定义如下: 特别令人惊奇的是,凸期望下的极限分布跟次线性期望下的极限分布相同,即对应的G都是次可加且正齐的。特别有意思的是将中心极限定理的结果应用于g-期望可以得到一些很有趣的关系式,下面是我们的第三个主要结果: 定理2.4.20.设g(z)是Lipschitz函数且g(0)=0,μ=limσ0σ-1g(σ)和μ=-limσ↓0σ-1g(-σ)均存在,我们有 三、第三章系统的研究了基于概率族的测度论,得到了空间Lbp和Lcp的刻画,随机过程的Kolmogorov连续修正准则和相应的次线性期望的收敛定理;获得了次线性期望下一类随机过程分布的表示定理,特别G-期望有如此的表示定理,结合Lcp的刻画,我们进一步建立了该类过程生成的完备化空间的轨道描述,特别G-布朗运动的轨道描述. (本章的基于概率族的测度论已被Potential Analysis [26]杂志接收,关于G-期望表示定理发表于Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series [41].) Peng(2006,2008)引入了G-布朗运动并建立了相应的随机积分理论,这套理论的一个关键是引入了合理的范数,所给的空间都是在相应范数下的完备化空间.为了更好的介绍我们的工作,我们首先回顾一下Peng(2006,2008)中引入的记号: 设Ω=C0d(R+)为所有[0,∞)上初值为0的Rd-值连续函数构成的空间,(Bt)t≥0是其上的典则过程,记其上的有界Lipschitz柱函数为:Peng(2006,2008)在Lip(Ω)上构造了动态相容的次线性期望,称为G-期望,使得典则过程(Bt)t≥0是G-布朗运动。对任给的p≥1,记LGp(Ω)为Lip(Ω)在范数(E|X|p]1/p下的完备化. 这种空间完备化的技术给很多问题的处理带来了方便,但是由于LGp(Ω)中的元素都是抽象的扩张出来的,这也使得对一些问题很难去描述:例如是否有界连续函数都在LGp(Ω)空间中,如何描述一列随机变量点点下降到0和连续过程.一个自然地问题就是:我们能否LGp(Ω)中的元素一个具体的描述? 本章我们深入系统地研究了这一问题,给出了LGp(Ω)空间中元素的一个具体描述.在处理这一问题上,我们首先给出一种简单而直接得办法(可以看成非线性期望下的Kolmogorov方法)去证明G-期望可以表示为一族弱紧的概率测度族P对应的上期望.更-般的我们有下面的本章主要结果: 定理3.3.7.设在次线性期望空间(Ω,Lip(Ω),E)中,E满足如下的条件:存在正常数α,β,γ使得则存在(Ω,B(Ω))上弱紧的概率族P使得 基于此概率族P,我们重新建立了相应的测度论.具体的来说,定义相应的容度(请参阅Huber(1981)):由容度可以引入拟连续函数的概念,在此基础上可以定义函数的拟连续修正.同时还可以引入下述函数空间:任给的p≥0,我们Lp在相应的距离下是完备的距离空间.进而我们记 ·Lbp为所有有界可测函数在p中的完备化空间. ·Lcp为所有有界连续函数在p中的完备化空间. 本章我们还得到了下述一系列主要结果: 定理3.2.6.对任给的p0,有 定理3.2.28.对任给的p0,有 定理3.2.22.(Kolmogorov连续修正准则)设p0,(Xt)t∈[0,1]d是一个过程满足对任给的t∈[0,1]d Xt∈Lp.若存在正常数c和ε使得则X存在连续修正X满足对任给的α∈[0,ε/p)有特别的X的轨道是q.s.α-Holder连续的对任给的aε/p. 定理3.2.33.(收敛定理)设P是弱紧的概率族,{Xn}n-1∞(?) Lc1满足Xn↓X,q.s.,则有面[Xn]↓,E[X]. 由于Lip(Ω)是有界连续函数空间的子空间,从而LGp(Q)可看成Lcp的子空间。在此基础上,进一步我们可以证明所有的有界连续函数都在LGp(Ω)中.进而我们得到了下述主要结果: 定理3.3.10.(轨道性质)设次线性期望空间(Q,Lip(Q),E)满足上述定理3.3.7.中的条件,则对任给的p0,有 特别需要指出的是定理3.2.6.和3.2.22.中不要求Ω是距离空间,易知G-期望满足定理3.3.7.中的条件,从而定理3.3.7.和3.3.10.对G-期望和相应G-布朗运动生成的空间中是成立的,从而定理3.2.33.对G-期望也成立. 特别有趣的事,Banach空间Lp,Lbp和Lcp在经典的线性期望下是同一空间,但在次线性期望下这些空间是不同的且存在着本质的区别.例如在LGp(Ω)=Lcp中有条件G-期望的概念,但在更大的空间中是否可以定义条件G-期望仍然是个很有趣的问题. 特别我们指出文章[25]中第一次明确提出了这种q.s.轨道分析的思想,我们的文章[26]第一次严格地证明了这种q.s.意义下的轨道分析. 四、第四章首次提出了次线性期望下G-Levy过程的概念,得到了G-Levy过程的Levy-Khintchine公式,进而找到了G-Levy过程的分布满足的积分偏微分方程,以及由此积分偏微分方程具体的构造G-Levy过程. (本章的部分结果已挂到arXiv [42].) Peng(2007)中证明了任何一个满足条件E[|Bt|3]=σ(t)的独立平稳增量过程(Bt)t≥0都是G-布朗运动.另一方面,我们知道金融中很多模型是带跳的,而上述条件E[|Bt|3]=o(t)保证了过程的连续性,那么一个自然地问题就是,如何去研究一个不满足条件E[|Bt|3]=o(t)的独立平稳增量过程?特别的纯跳的独立平稳增量过程? 在处理这一问题上,我们主要研究独立平稳增量过程(Xt)t≥0的分布性质,具体的来说,即研究函数u(t,x):=E[φ(x+Xt)]满足的偏微分方程.本章我们深入系统的研究了这一问题,主要是针对我们引入的G-Levy过程,这对应于跳是可求和的独立平稳增量过程,从而我们定义G-Levy过程是一类能在分布意义下分解为跳部分和连续部分的独立平稳增量过程.关于跳部分不能用Peng(2007)中给出的方法去处理,我们克服了一些实质性的困难,关键是巧妙地应用了Daniell-Stone定理,对跳部分给出了很好的处理,得到了G-Levy过程分布的Levy-Khintchine公式,在此基础上进一步找到了u满足的积分偏微分方程.由此积分偏微分方程,可以反过来构造G-Levy过程.下面是我们本章的主要结果: 定理4.2.18.设(Xt)t≥0是d-维G-Levy过程,Gx[(?0(·)]定义如下则Gx[f(·)]有如下的Levy-Khintchine表示 定理4.2.19.设(Xt)t≥0是d-维G-Levy过程.对任意给定的φ∈Cb.Lip(Rd),定义u(t,x)=E[φ(x+Xt)],则u是下述积分偏微分方程的唯一粘性解:其中u表示Gx. 定理4.2.23.任意给定u满足定理4.2.18.中的要求,则必存在以u为表示的G-Levy过程. 特别需要指出的是若u只含有测度v,我们可以用这种纯跳的特殊情形去定义G-Poisson过程和G-Poisson分布.进一步,我们不难将上述方法推广到用于处理非时齐的G-Levy过程,即独立增量过程. 特别有趣的是我们在得到G-Levy过程的Levy-Khintchine公式中所用的方法完全适用于经典Levy过程的情形,而且比经典的方法更简单,更直接;另外我们得到的上述积分偏微分方程的结构与以前的学者(请参阅Alvarez-Tourin(1996), Barles-Imbert(2008)和Jakobsen-Karlsen(2006))研究的结构是不同的,这之间存在着本质的区别,关键在于我们这里的v可以取互相奇异的测度,这给问题增加了很大的难度.
【学位授予单位】:山东大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2010
【分类号】:O211.6

【引证文献】
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1 王鹏;G-期望及其相关计算问题[D];上海交通大学;2011年
【参考文献】
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【共引文献】
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5 张德飞;容度极限理论和非线性数学期望在金融中的应用[D];山东大学;2012年
6 李敏;复杂机械基于数据的建模与故障诊断[D];太原理工大学;2010年
7 赵国庆;非线性数学期望,模糊下的最优停时原理及其在金融中的应用[D];山东大学;2010年
8 母丽华;煤矿安全预警系统的方法研究[D];哈尔滨工程大学;2010年
9 张亚维;博彩行为:一个理论框架及经济学分析[D];苏州大学;2006年
10 姚定俊;分红及若干相关随机控制问题研究[D];华东师范大学;2010年
中国硕士学位论文全文数据库 前10条
1 王鹏;G-期望及其相关计算问题[D];上海交通大学;2011年
2 王美娟;g-框架下的期望理论的有关性质及其应用研究[D];山东科技大学;2011年
3 易子南;G-期望,G-布朗运动及相应的随机积分[D];复旦大学;2010年
4 郑世秋;高中生函数意识的培养初探[D];辽宁师范大学;2004年
5 张静;一类g-概率的对称性问题[D];山东大学;2007年
6 宋骏豪;基于SPH方法的间断现象的数值模拟研究[D];广西师范大学;2010年
7 张丽霞;求解不等式约束优化问题的一个非线性Lagrange函数[D];辽宁师范大学;2010年
8 李媛;进京农民工对其3-6岁子女的教育期望的个案研究[D];首都师范大学;2011年
9 崔莉莉;基于二维g-期望的Jensen不等式的研究[D];山东科技大学;2010年
10 杨丽;g-期望及其不等式[D];山东科技大学;2008年
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