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非线性发展方程精确解的研究

刘绍庆  
【摘要】:如今非线性已经涉及几乎所有学科领域,孤立子理论作为非线性科学研究的热门课题之一,对揭示波的传播规律、准确解释自然现象和科学应用相关技术等方面均具有极大的科学研究和应用价值。寻求非线性系统的解,特别是孤立波解(包括精确解和数值解)是孤立子理论研究的一个主要内容。 最近几十年,关于非线性发展方程的孤立子研究,特别是孤立波的研究发展迅速,国内外的研究者创造了许多求解非线性发展方程的孤立波的方法。近年来,随着数学机械化的发展,关于孤立波的研究越来越多的依赖于计算机的应用,随之而来的是产生了一系列求解非线性波动方程的新方法,并且这些方法逐渐的被应用到离散的非线性微分-差分系统和随机微分系统中来研究离散系统和随机系统的孤立波问题。这些方法已成为近年来求解非线性发展方程精确解的主要工具。本文共分五章: 第一章我们先介绍了数学机械化、孤立子理论的背景和发展历史,然后总结并分析了现有的求解非线性发展方程的方法,最后介绍了本课题的研究意义和研究内容。 第二章先介绍了F-展开法和改进的F-展开法,并用此两种方法研究了一类Davey-Stewartson方程的精确解,得到了此方程由Jacobi椭圆函数表示的周期波解,且在极限的情况下,得到了这些方程的孤波解及其他形式的解。 第三章首先介绍了求解非线性微分-差分方程精确解的Tanh函数法,并用此方法研究了(2+1)-维Toda格子、晶格方程、离散的饱和非线性Scho¨dinger方程和Ablowitz-Ladik晶格模型和变系数离散mKdV方程、变系数Hybrid格子方程,分别得到了三种不同类型的精确解:双曲函数型、三角函数型和有理函数型;接着介绍了最近很热的(G′G'/G)-展开法,并将两种方法进行比较。 第四章首先介绍了随机微分方程的相关理论,给出了求解随机微分方程精确解的Tanh函数法,并用此方法研究了随机Kadomtsev-Petviashvili方程和广义随机KdV-Burgers方程,得到了三种不同类型的随机精确解。最后利用第二章介绍的F-展开法研究了随机广义KdV方程组的精确解。 第五章是对研究内容的总结和展望。


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