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《中国海洋大学》 2009年
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时滞动力系统的某些动力学行为研究

张若军  
【摘要】: 随着科学技术的快速发展,在物理、力学、控制理论、生物学、医学和经济学等自然科学及边缘学科的研究领域提出了大量由时滞动力方程(也称时滞动力系统)所描述的具体数学模型,因而对时滞动力系统进行研究在理论和实际应用方面都有重要意义。 时滞动力系统属于非线性动力学的分支。经典非线性动力学是以扰动、渐近分析的方法研究弱非线性弱耦合的系统。而现代非线性动力学与经典非线性动力学不同,研究的是系统的定性与定量的变化规律,其使用的方法是精确方法,所研究的系统具有强非线性性,其研究对象主要包括稳定性、周期解、吸引子以及分叉、混沌、孤立子等新的现象,其主要任务是探索非线性科学的复杂性。 本文对著名的Duffing型, Liénard型方程以及区间细胞神经网络、反应扩散神经网络、联想记忆神经元模型进行了研究和推广,考虑时滞对系统稳定性的影响,运用多种方法研究了几种时滞泛函微分方程所表示的模型的全局动力行为,包括:周期解的存在性,鲁棒稳定性,分叉等,并利用Matlab求解泛函微分方程和对神经网络进行了仿真。本文共由6章组成,主要内容如下: 首先是第1章绪论,概述了时滞动力方程的研究背景和发展状况,并简要介绍了本文的主要工作。 第2章,利用重合度理论(Mawhin延拓定理)、不等式理论以及各种变换技巧研究了推广的时滞Duffing型、Liénard型方程,考虑其周期解的存在性问题,得到了某些充分条件,所得结果推广和改进了相关文献的结果。 第3章,一方面,在有限区间情况下,采用拓扑度理论和建立适当的Liapunov-函数方法,讨论区间细胞神经网络的渐近鲁棒稳定性问题。另一方面,在无穷区间情况下,在对无穷区间上的Lebesgue-Stieltjes积分的连续性、可微性进行研究的基础上,应用新的分析技巧和构建适当的带有Lebesgue-Stieltjes积分的Liapunov泛函,讨论区间细胞神经网络的全局指数鲁棒稳定性。两种情况均得到了简单有效的判别准则并给出了实例。所得结论有助于系统结构稳定性分析。 第4章,通过截断函数和截断方程,给出了S-分布时滞的反应扩散神经细胞网络模型(RDCNNs)具有全局指数稳定性的平衡点唯一存在的充分性条件,去掉有关文献中要求信号函数f j和g j, j = 1, 2,,n,有界性、单调性和可微性的苛刻条件。给出实用有效的M ?矩阵判断S-分布时滞RDCNNs稳定性的代数方法。所的结果通过实例得到了验证。 第5章,研究了具有非单调动力系统的神经元联想记忆模型,其中的输出函数不是sigmoid函数而是非单调的。通过分析非单调系统的分叉相图,获得基于特征方程和Hassard技巧的渐近稳定原则。利用正规型理论和中心流形定理分析了Hopf分叉的稳定性和方向。最后,利用数值模拟对时滞变化引起的相图的变化进行了仿真。所得到的网络具有一定的应用价值。 最后,对本文所研究的内容和主要结果进行了总结,并对研究工作的前景做了展望。
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