临界图边数的下界与某些图类的分数边染色

【摘要】：图G正常边染色π是映射π：E(G)→{1，2，…}，使得任何两条相邻的边无同一象。G的边色数是其边染色全体象的基数中最小值，用x′(G)表示。Vizing定理：G是最大度为Δ的简单图，则x′(G)=Δ或Δ+1。设G是简单图，若x′(G)=Δ，则称G是第一类的，否则称G是第二类的。图G是连通的第二类图，且对G的任何边e，有x′(G-e)＜x′(G)，则称G是临界的。若G是临界图，且Δ(G)=Δ，则称G为Δ-临界图。 Vizing在1968年提出如下猜想：n阶Δ-临界图的边数满足m≥(nΔ-n+3)／2。此猜想至今尚未解决，但是这一猜想的证明却是一个非常活跃的课题。D.P.Sander与Y.Zhao在2003得到一个比较新的结果：n阶Δ-临界图的边数满足m≥n(Δ+(2Δ-1)~(1/2))／4。本文利用临界图的有关性质，对于7≤Δ≤18的临界图的边数m的下界做了进一步改进，数值计算优于D.P.Sander与Y.Zhao的结果。 图G的一个分数边染色是指分配给G的匹配M一个非负权ω_M，使对任意e∈E(G)，有sum from M∈e ω_M≥1(或sum from M∈e ω_M≤1)。图G的分数边色数为x′_f(G)=min∑_M ω_M(或x′_f(G)=max∑_M ω_M)。本文利用分数边染色的有关理论，讨论了以下内容： 1 利用图的分数边染色与边染色之间的关系，给出了一些第二类图的充分条件的更简单证明。 2 Vizing在1965年提出了平面图猜想：最大度为6、7的平面图是第一类的。此猜想亦未完全证明。本文给出了此猜想在分数范围内的证明，并给出了最大度小于6的平面图的分数边色数。 3 Friorini在1975年系统的研究了临界图的构造。本文将这一思想推广到分数范围内，构造了几类边色数为Δ+1，而分数边色数为Δ的图类。