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临界图边数的下界与某些图类的分数边染色

巩在武  
【摘要】:图G正常边染色π是映射π:E(G)→{1,2,…},使得任何两条相邻的边无同一象。G的边色数是其边染色全体象的基数中最小值,用x′(G)表示。Vizing定理:G是最大度为Δ的简单图,则x′(G)=Δ或Δ+1。设G是简单图,若x′(G)=Δ,则称G是第一类的,否则称G是第二类的。图G是连通的第二类图,且对G的任何边e,有x′(G-e)<x′(G),则称G是临界的。若G是临界图,且Δ(G)=Δ,则称G为Δ-临界图。 Vizing在1968年提出如下猜想:n阶Δ-临界图的边数满足m≥(nΔ-n+3)/2。此猜想至今尚未解决,但是这一猜想的证明却是一个非常活跃的课题。D.P.Sander与Y.Zhao在2003得到一个比较新的结果:n阶Δ-临界图的边数满足m≥n(Δ+(2Δ-1)~(1/2))/4。本文利用临界图的有关性质,对于7≤Δ≤18的临界图的边数m的下界做了进一步改进,数值计算优于D.P.Sander与Y.Zhao的结果。 图G的一个分数边染色是指分配给G的匹配M一个非负权ω_M,使对任意e∈E(G),有sum from M∈e ω_M≥1(或sum from M∈e ω_M≤1)。图G的分数边色数为x′_f(G)=min∑_M ω_M(或x′_f(G)=max∑_M ω_M)。本文利用分数边染色的有关理论,讨论了以下内容: 1 利用图的分数边染色与边染色之间的关系,给出了一些第二类图的充分条件的更简单证明。 2 Vizing在1965年提出了平面图猜想:最大度为6、7的平面图是第一类的。此猜想亦未完全证明。本文给出了此猜想在分数范围内的证明,并给出了最大度小于6的平面图的分数边色数。 3 Friorini在1975年系统的研究了临界图的构造。本文将这一思想推广到分数范围内,构造了几类边色数为Δ+1,而分数边色数为Δ的图类。


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