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《济南大学》 2018年
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非线性分数阶q-差分方程解的存在性与稳定性

马奎奎  
【摘要】:q-微积分(又称量子微积分)自诞生以来,一直是连接着数学和物理学的重要桥梁。特别是在量子物理、光谱分析和动力系统等方面,q-微积分都发挥着极其重要的作用。近年来,q-微积分也愈来愈多地应用于工程学和经济学中。目前,分数阶q-差分方程引起了国内外学者的关注和研究,特别是对其解的存在性与稳定性这两个最基本和最重要的性质的研究,这不但是其理论发展的要求,也是社会生产生活的需要,期望它能在实践应用中发挥相应的作用。本文主要研究分数阶q-差分方程初边值问题解的存在性和稳定性,其中包括奇异方程、著名模型、动力系统,涉及解或者正解的存在性、多重性、唯一性、Lyapunov不等式和稳定性,得到一些新的结果。第一章为绪论部分,主要介绍了分数阶微积分理论、分数阶微分方程以及分数阶q-差分方程的发展历史及其应用展望,列出有关分数阶q-差分方程理论的基本定义和引理,简要介绍本文研究的主要内容。第二章研究奇异分数阶q-差分方程边值问题解的存在性。利用Krasnoselskii不动点定理以及推广的Banach压缩映像原理给出了该类问题解的存在性和唯一性的判定定理。第三章研究具有Woods-Saxon势的分数阶q-差分Schr_?dinger方程的Lyapunov-型不等式。利用Jensen不等式等工具,得到推广形式的Lyapunov不等式,给出解存在的必要条件。同时,运用Leray-Schauder度理论及Leggett-Williams不动点定理,给出正解存在的充分条件。第四章研究分数阶q-差分Lotka-Volterra耦合系统模型的稳定性。本章内容基于Leray-Schauder非线性抉择定理和Banach压缩映像原理,给出Caputo类型的分数阶q-差分Lotka-Volterra耦合系统模型解存在唯一的充分条件。同时,该结果为吻合Lotka-Volterra模型的捕食系统能否在若干年后趋于稳定提供了借鉴。第五章研究分数阶时滞q-差分动力系统的有限时间稳定性。运用时滞q-Mittag-Leffler型矩阵和推广的q-Gronwall不等式,研究了一类分数阶时滞q-差分动力系统的有限时间稳定性。第六章研究具p-Laplace算子的分数阶q-差分方程边值问题解的存在性和唯一性。运用Scheafer不动点定理给出该类问题解存在的充分条件,进一步利用Banach压缩映射原理证明解的存在唯一性。第七章总结与展望。归纳概括本文研究的主要工作和创新点,并对后续的研究工作进行展望。
【学位授予单位】:济南大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2018
【分类号】:O175

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