梁弯曲问题的重心有理插值Galerkin法

【摘要】：梁是一种重要的工程结构构件,广泛应用于土木工程、机械工程、控制工程、航天航空结构等领域,弯曲为其主要变形,因而研究梁在各种荷载作用下的弯曲变形具有十分重要的意义。梁的弯曲变形问题的数学模型可归结为在一定的边界条件和初始条件下的微分方程的求解。求解梁的弯曲变形问题,只有当荷载情况比较简单时,如均布荷载、端部集中荷载等,解析解答才可以得到；而对于有多个支撑的连续梁、变截面梁和梁上荷载比较复杂时,采用解析法分析梁的变形,需要分段列出梁的控制方程,然后逐段积分,确定一系列积分常数,计算过程相当复杂甚至是不可能的。因此,需要借助于数值方法求解。 重心有理插值Galerkin法作为一种数值求解微分方程的计算方法,具有计算公式简单、程序实施方便、节点适应性好、边界条件和连接性条件施加方便、计算精度高的优点。众所周知,有时有理函数插值比多项式插值具有更高的插值精度,特别是对大量的节点。采用有理函数作为插值基函数,不但可以明显的提高插值精度,也可以有效的克服插值的不稳定性问题。但在经典的有理函数插值中在插值区间内无法控制极点的产生。 Berrut和Mittelmann建议采用更高次多项式来构造有理函数插值,这样可以避免极点的产生。Floater和Hormann提出一种在任意实数区间上与点分布无关不存在极点且高精度近似,具有无穷次光滑性的重心型有理函数插值。重心有理插值不但在特殊分布节点上具有较高的插值精度,而且对于等距节点也具有很高的插值精度。 本文研究了两种数值计算梁弯曲问题的数值方法：一是利用重心有理插值函数作为试函数,运用广义函数建立梁弯曲变形的控制方程,利用Delta函数的积分筛选性,提出求解梁弯曲变形问题的重心插值Galerkin法；二是依据不连续区间划分计算单元,在每一个单元上采用重心有理插值近似未知函数,得到每一个单元上的微分矩阵,组装各单元矩阵为一个整体计算矩阵,采用置换法施加边界条件和单元间连接条件,建立数值求解复杂载荷作用下梁弯曲问题的重心有理插值单元Galerkin法。计算得到梁的挠度之后,利用微分矩阵可以直接得到梁在计算节点处的转角、弯矩以及剪力。 将重心有理插值Galerkin法应用到分析梁的弯曲变形问题,比如具体分析了集中力、部分均布载荷、刚度不连续、以及连续梁等,得到了较高精度的数值解,数值算例验证了该方法的有效性和计算精度。 将重心有理插值单元Galerkin法应用到分析梁的弯曲变形问题,比如具体分析了集中力偶、集中力以及复杂载荷作用下梁、均布载荷连续梁、中间铰接梁、变刚度梁、中间滑支梁等,少量的节点即可得到高精度的数值解,数值算例验证了该方法的有效性和计算精度。 数值算例表明重心有理插值Galerkin法具有计算公式简单、程序实施方便、节点适应性好、边界条件和连接性条件施加方便、计算精度高的优点