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邻点可区分的染色和两种特殊的全染色问题

李倩倩  
【摘要】:图的染色问题及许多图理论都源自四色问题的研究.图的染色问题是图论的主要研究领域之一,它在组合分析和实际生活中的应用都非常广泛.随着科学技术的发展,各类新的染色问题也被相继提出并加以发展应用. 起源于网络问题的点可区分的边染色问题在[1]中得到了进一步的研究.新的染色问题不断被提出,与该问题相关的图的邻点可区分的边染色(邻强边染色)和(邻)点可区分的全染色是由张忠辅首先提出的,它在数据传输问题上有一定的应用背景,其定义如下: 定义1设G是阶至少为2的连通图,k是正整数,f是E(G)到{1,2,…,k}的映射,对任意u∈V(G),记c(u)={f(uw)│uw∈E(G),w∈V(G)}如果 (1)对任意uv,uw∈E(G),f(uv)≠f(uw); (2)对任意uvE(G),C(u)≠C(v). 则称f为G的k-邻强边染色.称最小的k为G的邻强边色数,记作xas'(G). 定义2设G是阶至少为2的连通图,k是正整数,f是V(G)uE(G)到{1,2,…,k}的映射,对任意u∈V(G),记C(u)={f(u)∪(uw)│uw∈E(G),w∈V(G)}如果 (1)对任意uv,uw∈E(G),f(uv)≠f(uw); (2)对任意uv∈E(G),f(u)≠f(v),f(u)≠f(uv),f(v)≠f(uv); (3)对任意uv∈E(G),G(u)≠C(v). 则称f为G的k-邻点可区分全染色.称最小的k为G的邻点可区分全色数,记作χat(G). 由于限制条件比较强:目前仅在树、圈、完全图、一部分平面图、一些特殊的乘积图等图类上得到了解决.根据这些结论,张忠辅还提出了有关猜想: 猜想1 G是阶至少为3的简单连通图,如果G≠G5,那么χ'as(G)≤Δ(G)+2. 猜想2 G是阶至少为2的简单连通图,则有χat(G)≤Δ(G)+3. Hajo Broersma在2007年曾把古典的顶点标号进行变形,并且把变形后的限制条件放松到图G的主要结构上,提出了一种新的染色-Back Bone coloring孙磊和孙美娇沿用这种思想将邻点可区分的边(全)染色的条件.限制在支撑树上,提出了如下两种定义: 定义3给定一个简单连通图G,k为一个正整数,f是G的一个正常边染色,f:E(G)→{1,2,…k},设T是G的一棵支撑树,记C(u)={f(uw)│w∈N(u)},如果对任意的uv∈E(T)满足G(u)≠C(v),则f称为G的T-邻强边染色.记χ'Tas(G,T)=min{k│G有一个k-T-邻强边染色}. 定义4给定一个简单连通图G,k为一个正整数,f是G的一个正常全染色,f:V(G)∪E(G)→{1,2,…k},设T是G的一棵支撑树,记C(u)={f(u)∪f(uw)│w∈N(u)},如果对任意的uv∈E(T)满足C(u)≠C(v),则f称为G的T-邻点可区分的全染色.记χTat(G,T)=min{k│G有一个k-T-邻点可区分的全染色}. 这两个定义的限制条件要比张忠辅提出的邻点可区分的边(全)染色的定义要弱一些,称这两种新的染色问题为图的弱邻点可区分的染色问题.对于这类染色问题孙美娇在她的毕业论文中做了初步研究. 频率分配问题是指对每一个无线电发射台分配一个频率,使得相互干扰的无线电发射台所分配的频率间隔在允许的范围内.而在频率分配问题上,下面的情况时常会发生:我们想给接收站分配无线电频率,为了避免干扰,如果两个接收站是相邻的,那么分配给它们的频率至少差2,如果两个接收站距离为2,那么分配给它们的频率不同.对于这种情况Griggs和Yeh在1992年提出了L(2,1)-标号问题,它是上述频率分配问题的一种图论模型.2000年,G.J.Chang等人把它推广到图的L(p,1)-标号. 图G的L(p,1)-标号是对G的顶点集的一个整数映射L,使得对任意的顶点u,v满足: (1)若dG(u,v)=1,则|L(u)-L(v)│≥p; (2)若dG(u,v)=2,则(?)L(u)-L(v)│≥1.(其中dG(u,v)表示u,v两点之间的距离). 一个图G的第一剖分图是指把图G的每一条边用长为2的路代替所得到的图.图G的第一剖分图的L(p,1)-标号,对应到原图G上是一个特别的全染色,这种全染色就是由Havet和Yu提出的(p,1)-全标号: 定义5设p是一个正整数,图G的一个k-(p,1)-全标号是一个映射f:V(G)∪E(G)→{0,1,…,k},使得: (1)G的任意两个相邻的顶点u,v,有|f(u)-f(v)|≥1; (2)G的任意两条相邻的边e,e',有|f(e)-f(e')|≥1; (3)G的任意两个关联的点u和边e,有|f(u)-f(e)|≥p.我们称这样的一个标号叫G的(p,1)-全标号.(p,1)-全标号的跨度是指标号中的最大标号与最小标号的差.G的(p,1)-全标号的最小跨度叫(p,1)-全标号数,记作λpT(G).即λpT(G)=min{k│G有一个k-(p,1)-全标号}. Havet和Yu在文章[18]中研究了图的(p,1)-全标号,并且提出了(p,1)-全标号猜想:λpT(G)≤min{2Δ+p-1,Δ+2p-1}. 图G的[r,s,t]-染色是对传统染色的推广.其定义如下: 定义6图G的[r,s,t]-染色是一个映射f:V(G)U E(G)→{0,1,…,k-1}使得对于给定的非负整数r,s,t满足: (1)对任意uv∈E(G),│f(u)-f(v)│≥r; (2)对任意uv,uw∈E(G),│f(uv)-f(uw)│≥s; (3)对任意uv∈E(G),│f(u)-f(uv)│≥t. 使得G有一个[r,s,t]-染色的最小的k,称为G的r,s,t]-色数,记作χr,s,t(G). 显然r=1,s=t=0时与正常的点染色类似,r=t=0,s=1时与正常的边染色类似,r=s=t=1时就是正常的全染色,r=s=1,t=p时就是(p,1)-全标号. 其他未加说明的符号,术语见文献[20][21]. 在本文的第一章里,我们主要介绍了文章中所涉及的一些概念、术语和符号以及邻点可区分的染色和两种特殊的全染色的背景和发展情况.在第二章中,我们研究了图的邻点可区分的染色,给出了满足邻点可区分染色猜想的图类,还研究了哈密顿图的弱邻点可区分的染色.在第三章第一节中研究了图的(p,1)-全标号,给出了当p=3,△≥8时,全标号的一个上界和非正则二部图的(p,1)-全标号.在第二节中研究了图的[r,s,t]-司-染色,给出了图G的某些[r,s,t]-染色的色数. 在本文中,我们主要得到了如下结论: 定理2.1.5设G是一个图,阶为ms+t,m为正整数,s,t为偶数,t≥m2s2+2ms-1,△(G)=ms+t-1,且G中至少有t个最大度点,则χ'as(G)=Δ(G)+2. 定理2.1.6设G是一个图,阶为ms+t,m为正整数,s为偶数,t为奇数,t≥m2s2/2+(ms)/2,Δ(G)=ms+t-1,且G中至少有t个最大度点,则χ'as(G)=Δ(G)+2. 定理2.1.7设G是一个图,阶为ms+t,m为正整数,s为偶数,t为奇数,t≥m2s2+2ms-2,Δ(G)=ms+t-1,且G中至少有t个最大度点,则χat(G)=Δ(G)+3. 上述三个定理给出了邻点可区分染色猜想1或猜想2成立的充分条件. 定理2.2.6对于非正则的哈密顿图G,存在支撑树T,使得χ'Tas(G,T)≤Δ(G)+2;对任意一棵支撑树T,有χTat(G,T)≤2Δ(G)+1. 定理2.2.7对于3-正则的哈密顿图G,存在支撑树T,使得χ'Tas(G,T)=4;对任意一棵支撑树T,有5≤χTat(G,T)≤6. 定理2.2.8对于k-正则的哈密顿图G,k≥4,存在支撑树T,使得△(G)+1≤χ'Tas(G,T)≤Δ(G)+3;存在支撑树T,使得χ'Tat(G,T)≤2Δ(G)+1. 定理3.1.8任意图G,△(G)≥8,则λ3T(G)≤2△(G)+1. 定理3.1.13对于非正则的二部图G,△(G)=△,且图G的最大度点导出子图包含K1,△-p+1,则λpT(G)=△+p(3≤p). 定理3.2.5如果图G是二部图,则r≥2χ'(G)时,χr,2,1(G)=χr,0,0(G);如果图G是非二部图,则r≥2χ'(G)/χ(G)-2+1且r为奇数时,χr,2,1(G)=χr,0,0(G).对于二部图,r≥2χ'(G)这个条件是最好可能的. 定理3.2.6如果△(G)≥2,s≥2r(r≥2),那么χr,s,1(G)=χ0,s,0(G).这个条件s≥2r(r≥2)是最好可能的. 定理3.2.7设G是一个图,χ'(G)=△(G)+1,若s≥r≥2,则χr,s,1(G)=χ0,s,0(G).这个条件s≥r≥2是最好可能的. 定理3.2.8设G是一个图,χ'(G)=Δ(G)+1,(?)≥max{r,t},t≠1,则χr,s,t(G)·=χ0,s,0(G).这个条件(?)≥max{r,t},t≠1是最好可能的.


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