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具依赖状态脉冲的积分微分系统的稳定性分析

赵岩  
【摘要】:本文主要考虑具依赖状态脉冲的积分微分系统的稳定性,其中f(t, x, Tx)=F(t, x)+R(t, x, Tx), Tx=?? L(t, s, x(s))ds, L∈C(R+2×Rn, Rn)系统(I)的解轨线与每一个脉冲面依次碰撞仅一次. 脉冲积分微分系统在自然科学中具有广泛的实际背景,许多问题如物理学中的电路模拟、生物学中的神经网络等的数学模型都可以归为脉冲积分微分系统进行分析探讨,因而具有重要的应用价值.近年来,对其研究也得到了越来越多的关注,并取得了一些成果.值得注意的是,这些研究结果大都侧重于具固定时刻脉冲的积分微分系统的研究,例如文[1,3,4]研究了此类系统解的有界性并给出了直接结果.然而具依赖状态脉冲的积分微分系统包含了具固定时刻脉冲的积分微分系统这一特殊情形,具有更广泛的应用价值.但是由于脉冲依赖于系统轨道状态,致使系统轨道的运动形态更为复杂,对其研究比对具固定时刻脉冲情况的研究要更困难,从而对它的研究进展缓慢.目前关于此类系统的研究结果已有一些,其中文[10]给出了一个具依赖状态脉冲的积分微分系统解的存在性结果,文[11]则给出了系统渐近稳定的若干判定准则,着重反映了脉冲对稳定性的影响整体看来,对该系统稳定性的研究尚处于起步阶段,还有许多问题有待解决,因此还有大量工作要做.本文主要研究具依赖状态脉冲的积分微分系统关于两个测度的稳定性,得到了若干新结果. 在第一章中,我们将锥值Lyapunov函数方法与比较方法相结合研究了具依赖状态脉冲的积分微分系统(I)的稳定性.首先给出锥的相关预备知识并介绍了锥值Lyapunov函数的概念及其沿的解的导数定义.第3节中,通过将系统(I)与锥上纯量微分系统进行比较建立了一个新的比较定理.在此基础上,第4节中我们得到了系统(I)关于两个测度的稳定性的若干比较结果. 在第二章中,通过将锥值Lyapunov函数方法、变分Lyapunov函数方法和比较原则三者相结合,利用非摄动微分系统和比较系统的稳定性质得到了具依赖状态脉冲摄动积分微分系统(I)稳定性质的若干结果.为了方便证明,在第2节中我们介绍了(h0,h)-稳定性定义.第3节中我们利用锥值变分Lyapunov函数建立了锥值变分比较原理.在定理的几个推论中,通过取定比较定理中的相关函数,将系统(I)的解与非摄动微分系统的解通过比较系统的最大解联系起来.第4节中我们在比较定理的基础上,得到系统(I)关于两个测度稳定性的若干比较结果.并举例说明了方法的应用性. 在第三章中,通过将变分Lyapunov函数方法与研究泛函微分方程稳定性时常用的Razumikhin技巧相结合,我们得到了一种Razumikhin型的变分Lyapunov函数方法.利用这种方法给出了系统(I)关于两个测度的稳定性的直接结果.这些稳定及不稳定的判定准则中均减弱了系统在脉冲点处的限制条件.本章最后也同样给出了一个例子来验证结果的有效性.


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