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《山东师范大学》 2013年
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一类算术函数倒数的均值问题

刘华锋  
【摘要】:本论文共分为两章,主要研究了一类算术函数倒数的均值问题及其小区间问题. 在第一章中,主要研究了指数除数函数T3(e)(n)的倒数的均值问题和(T(e)(n))r的小区间问题. 我们令正整数n1,满足设整数若bi|αi对于每个i∈{1,2,...,s}都成立,则称d是n的指数除数,记作:d|len,特殊的1|e1.我们令T(e)(n)表示n的指数除数的个数,称T(e)(n)为指数除数函数.这个函数都是可乘的,而且对每一个素数p都有τ(e)(p)=1,τ(e)(p2)=τ(e)(p3)=2,τ(e)(p4)=3,….许多学者都研究了该函数的性质(例[3],[8],[11],[13],[16],[18],[20]). M.V.Subbarao首先研究了τ(e)(n)的均值问题,得到了 其中E(x)=O(x1/2). J.wu改进了M.V.Subbarao的结果,得到 其中 M.V.Subbarao还证明了对任意的正整数r,有估计式 其中 Laszlo Toth证明了这里P2r(t)是t的2r一2次多项式, 类似于dk(n)对d(n)的推广,我们对T(e)(n)进行推广,引入如下定义: 显然k=2时即为T(e)(n).当k=3时,位京美研究了T3(e)(n)的性质,得到了T3(e)(n)的渐近公式.本章重点是利用Dirichlet卷积原理的方法求出(T3(e)(n))-r的渐近公式.在这一章中我们有以下定理: 定理1设N是固定的正整数,则其中 对于(τ(e)(n))-r,我们的目的是寻找尽可能小的y,使得其小区间问题有一渐近公式.这里x为充分大的正数,0y=o(x).我们利用Perron公式得到了和式的主项,对于余项的估计,应用Dirichlet卷积的方法.得到下面的定理: 定理2如果x1/5+2εy≤x,则 其中 在第二章中,主要研究了无平方指数除数函数(t(e)(n))-r的均值问题及其小区间问题. 我们令正整数n1,满足n=Πi=1spiai若bi|αi对于每个i∈{1,2,...,s},都成立,则称整数d=Πi=1spibi是n的指数除数,记作:d|en.特殊的1|e1.若n的所有指数α1,…,αe是无平方的,则称整数n1是指数无平方的.若1|a1,…,bs|as,b1,b2,…,bs是无平方的,则称d=Πis=1pibi是n的无平方指数.注意到整数1是指数无平方的,但不是整数n1的指数除数. 我们令t(e)(n)表示n的无平方指数除数的个数,若n=Πis=1piαi1则t(e)(n)=2ω(α1)...2ω(αs)(见Laszlo Toth[13])这里ω(α)=s表示不同的素因子α的个数.t(e)(n)的性质已经被很多学者研究出来.显然t(e)(n)可乘,且t(e)(pα)=2ω(α)对每个素因子pα都成立.这里对每个素数p都有t(e)(p)=l,t(e)(p2)=t(e)(p3)=t(e)(p4)=t(e)(p5)=2,t(e)(p6)=4,令Laszlo Toth[13]证明了 这里当Rs1/4时,V(s)绝对收敛,且有 对任意ε0都成立,这里c1C2是常数,由下面的公式给出 对于(t(e)(n))-r我们首先用Dirichlet卷积的方法得到其均值的一个渐近公式;对于(t(e)(n))r我们的目的是寻找尽可能小的y,使得其小区间问题有一渐近公式.这里x为充分大的正数,0y=o(x).在这一章中我们得到了以下定理:定理3设整数r≥1,任意固定的整数N≥1,则其中 定理4如果z寺+..可≤z则其中
【学位授予单位】:山东师范大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2013
【分类号】:O156.4

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