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赋权图中的重圈与Ore型条件

亓杰芝  
【摘要】: 本文仅讨论有限简单图。设G=(V(G),E(G))是一个图,对v∈V(G)分别用Г(v)和d(v)表示G的邻点集和邻点数。G表示G的补图;lG表示G的l个拷贝的并;G_1(?)G(?)G_2表示G同构于包含G_1的G_2的子图。对S(?)V,|S|≥2,用d(S)表示连接S中两不同顶点的路的最少边数。显然,当且仅当d(S)≥2时,S是G的独立集。 图G=(V,E)称为赋权图,若每条边e指定非负数w(e),称为e的权。顶点v的赋权度定义为若G有k个顶点的独立集,则定义否则,令σ_k~w=∞。图G的子图H的权定义为某类子图中权最大的又叫最重的。特别地,圈C是最重的(最优的),若C是G中最大权的圈。图G的赋权周长定义为v—圈表示G中过点v的圈,e—圈表示G中过边e的圈。 显然,非赋权图可看作每条边指定权为1的赋权图,此时,w(H)=|E(H)|,d~w(v)=d(v),σ_k~w简记为σ_k,c~w(G)简记为c(G)(图的周长),最重圈就是最长圈。因此,研究赋权图将得到更普遍的结论。 Hamilton问题是图论研究的基本问题之一,而当图中最长圈长与顶点数相等时,即为Hamilton圈。因此研究Hamilton圈问题常先研究最长圈,这方面已经取得长足的发展: 1952年,Dirac给出了图中长圈存在的最小度条件(称为 Dirac条件L 1960年,Ore给出 了度和条件(称为 Ore条件),在很多情况下 Ore条件减弱了Dirac条件得到了更好的结论. 1984年.范更华在[1冲给出了距离为2的点对中最服条件(称为Nn条件). 研究赋权图中的重目是研究赋权图的一个重要内容;并且赋权图中的重圈问题是图中长 圈问题的相应推广.J.A.Bondy,范更华等图论专家在这方面做了大量研究,得到许多结果. 见问问等.近年来,赋权图中重圈存在性的研究日渐活跃.主要集中在以下方面:DirCC型条 件;Ore型条件;Fan型条件. 本篇论文主要研究了赋权图中的重圈存在性与Ore型条件. 在第一节中,我们主要介绍了论文的基本内容及所涉及的一些基本概念和符号. 在第二节中主要把有关Ore型条件下图中长圈存在性的下述定理推广到赋权图电得到 定理 2.5. 定理 2.3叫设 G是 n阶 2连通图。。>。则对每个 y 6 V(G).G含 Ha加lton 圈或长三m的y一圈. 定理 2石 设 G是 2连通赋权阂终。>。,则对每个 y 6 V(G;G含 Hamilton圈 或权>。的y一圈. 在叫中定理2.3是由其它定理推导出的,为了启发定理2.5的证明思路.本文在第二节 屯 中首先给出了定理2.3直接证明. 在第三节中得到连通度为2的赋权图在Ore型条件下的极图. 定理 3·3设 G是连通度为 2的赋权图;ny三。则过 G的给定点存在权三 n的圈. 进而,设 *)>0,Vc E*q.【V(G=n>。且某点不含在权>。的圈中.则 门)存在G的两顶点儿v,c一。一。的连遁分支c,岛都是完全图; (2)丁KI)二*…叫n厂(v),厂问)二厂(*)n厂(叫. 第四节中主要研究满足下面两条件的赋权图G: G:dk* 二2且x。,zy E风q时,叫xz)=叫*; CZ:在 G的每个三角形中或者三条边的权互旯或者三条边的权相同. 在。型条件下间中已有下面定理4.1. 定理 4.J 设 G为 2连通赋权图;满足 CIA,且《三。则 G含 Hamilton圈或 权三 2。/3的N. 高敬振教授改进了此定理得到下面定理: 刊 定理 4.2问设 G为 2连&$权图;满足 C*q且 ”(x)+”*+” 三)三*,叭X,y一二域3时. 11 则 G含 HaAnlton i或权三 Zm/3的M. 本节中进一步推广了定理4.2得到下面定理: 定理 4.3设 G为 2连通赋权图;满足 CI,CZ;且 0 州Z)+”*十”Z)Z**Z,yZ)二2时. 则 G含 Hadrilton M或权三 2。/3的i.


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