赋权图中的重圈与Ore型条件

【摘要】： 本文仅讨论有限简单图。设G=(V(G)，E(G))是一个图，对v∈V(G)分别用Г(v)和d(v)表示G的邻点集和邻点数。G表示G的补图；lG表示G的l个拷贝的并；G_1(?)G(?)G_2表示G同构于包含G_1的G_2的子图。对S(?)V，｜S｜≥2，用d(S)表示连接S中两不同顶点的路的最少边数。显然，当且仅当d(S)≥2时，S是G的独立集。 图G=(V，E)称为赋权图，若每条边e指定非负数w(e)，称为e的权。顶点v的赋权度定义为若G有k个顶点的独立集，则定义否则，令σ_k~w=∞。图G的子图H的权定义为某类子图中权最大的又叫最重的。特别地，圈C是最重的(最优的)，若C是G中最大权的圈。图G的赋权周长定义为v—圈表示G中过点v的圈，e—圈表示G中过边e的圈。 显然，非赋权图可看作每条边指定权为1的赋权图，此时，w(H)=|E(H)|，d~w(v)=d(v)，σ_k~w简记为σ_k，c~w(G)简记为c(G)(图的周长)，最重圈就是最长圈。因此，研究赋权图将得到更普遍的结论。 Hamilton问题是图论研究的基本问题之一，而当图中最长圈长与顶点数相等时，即为Hamilton圈。因此研究Hamilton圈问题常先研究最长圈，这方面已经取得长足的发展： 1952年，Dirac给出了图中长圈存在的最小度条件（称为 Dirac条件L 1960年，Ore给出 了度和条件（称为 Ore条件），在很多情况下 Ore条件减弱了Dirac条件得到了更好的结论． 1984年．范更华在［1冲给出了距离为2的点对中最服条件（称为Nn条件）． 研究赋权图中的重目是研究赋权图的一个重要内容；并且赋权图中的重圈问题是图中长 圈问题的相应推广．J．A．Bondy，范更华等图论专家在这方面做了大量研究，得到许多结果． 见问问等．近年来，赋权图中重圈存在性的研究日渐活跃．主要集中在以下方面：DirCC型条 件；Ore型条件；Fan型条件． 本篇论文主要研究了赋权图中的重圈存在性与Ore型条件． 在第一节中，我们主要介绍了论文的基本内容及所涉及的一些基本概念和符号． 在第二节中主要把有关Ore型条件下图中长圈存在性的下述定理推广到赋权图电得到 定理 2．5． 定理 2．3叫设 G是 n阶 2连通图。。＞。则对每个 y 6 V（G）．G含 Ha加lton 圈或长三m的y一圈． 定理 2石 设 G是 2连通赋权阂终。＞。，则对每个 y 6 V（G；G含 Hamilton圈 或权＞。的y一圈． 在叫中定理2．3是由其它定理推导出的，为了启发定理2．5的证明思路．本文在第二节 屯 中首先给出了定理2．3直接证明． 在第三节中得到连通度为2的赋权图在Ore型条件下的极图． 定理 3·3设 G是连通度为 2的赋权图；ny三。则过 G的给定点存在权三 n的圈． 进而，设 ＊）＞0，Vc E＊q．【V（G＝n＞。且某点不含在权＞。的圈中．则 门）存在G的两顶点儿v，c一。一。的连遁分支c，岛都是完全图； （2）丁KI）二＊…叫n厂（v），厂问）二厂（＊）n厂（叫． 第四节中主要研究满足下面两条件的赋权图G： G：dk＊ 二2且x。，zy E风q时，叫xz）＝叫＊； CZ：在 G的每个三角形中或者三条边的权互旯或者三条边的权相同． 在。型条件下间中已有下面定理4．1． 定理 4．J 设 G为 2连通赋权图；满足 CIA，且《三。则 G含 Hamilton圈或 权三 2。／3的N． 高敬振教授改进了此定理得到下面定理： 刊 定理 4．2问设 G为 2连＆＄权图；满足 C＊q且 ”（x）＋”＊＋” 三）三＊，叭X，y一二域3时． 11 则 G含 HaAnlton i或权三 Zm／3的M． 本节中进一步推广了定理4．2得到下面定理： 定理 4．3设 G为 2连通赋权图；满足 CI，CZ；且 0 州Z）＋”＊十”Z）Z＊＊Z，yZ）二2时． 则 G含 Hadrilton M或权三 2。／3的i．