图论在聚类分析中的应用

【摘要】：本文讨论聚类分析中的系统聚类法、模糊聚类法和灰色聚类法，着重探讨其聚类的图论方法。 第一章 介绍聚类分析的基本知识。 第二章 讨论系统聚类分析及其中著名的最短距离法，指出了最短距离法即为图论中求赋权连通图最小支撑树Kruskal算法的变形，得到了最短距离法的优良性质： 定理2．1对最短距离法和k=n-1，n-2，…，1成立。它说明最短距离法得到的系统H=(P_n,P_(n-1),…,P_1)对每个m=n-1，n-2，…，2，P_m既是分离性最好的m-剖分，又是相似性最好的m-剖分。 第三章讨论模糊聚类分析及其常用的传递闭包法，指出这种聚类方法的复杂性，定义了模糊关系图G=(X，E，(?))及其中两点u，v间的连通强度S(u，v)，证明了S是X上的模糊等价关系、G=(X，E，(?))的最大支撑树具有如下性质： 定理3．2 设T是模糊关系图G=(X,E,(?))的一棵支撑树，则以下陈述等价： (1)T是G的最大支撑树； (2)对于任意的e'∈E(T)，从T中移出e'得T_1，T_2，则w(e')=(?)w(e)； (3)对任意的u,v∈X(u≠v)，T中u,v之间的惟一路是G中最优(u,v)路。并建立了G=(X,E,(?))中任两点的连通强度和(?)的传递闭包t((?))之间的关系： 定理“.“设X二!xl，花，…，xn} 的传递闭包t(尽)=尽”=(‘(”，)，、。 图，则 ，尽=(动nx，是X上的模糊相似关系，尽 G=(X，E，豹是与X，尽相对应的模糊关系 t(B从，x’)二稍=s(x，.，xj.)· 由此仿照图论中求赋权连通图最小支撑树的Dijkstra算法，给出了模糊聚类的 最大支撑树算法如下: 设模糊相似矩阵尽=(份)nx，，聚类水平为兄，令人表示树的结点集，记 份二r(气，xj (l)任选一点vl:X，记鸿={vl}，令l(vl)=o，P(vl)==。，l(v):=r(vl，v)， P(v):=vl(丫，。X、鸿)，k:= (2)算 z(v)誊z(v·)，令凡十，一人。{v·}，对每个;。x\人*，，若 r(v’，v)l(v)，则l(v):=r(v’，v)，P(v):=v’. (3)若k二n一1，据指针P(.)倒向追踪得最大支撑树T;T去掉w(e)兄的 所有边e后的各连通分支即为X在之水平上的一个分类，停，否则，- 令k片k+1，回(2). 而且其复杂性仅为口(矛)，最后通过实例进行了验证. 第四章讨论灰色关联聚类分析及其传统的逐行检查法，分析用这种方法进 行灰色关联聚类的复杂性为口(m4).仿照模糊聚类分析的最大支撑树方法中连 通强度的定义和相关结论，给出了赋权图G=(犷，E，D)中两点u，v间的连通强度 S(。，‘)及其最大支撑树的一个性质·定义了G=(V，E，D)的兄一截图叹和连通 闭包G两个概念，得到了如下结论: 定理4.2设赋权图G=(代E，D)，则任取兄任[0，l]，G;=认. 由此分析说明了指标集X中两点u，v在兄水平上能够归为一类，等价于它们在 关联图G=(X，E，A)的最大支撑树T的兄一截图瓜中连通·据此建立了灰色关 联聚类的最大支撑树方法，其复杂性仅为口(mZ)，有效降低了运算的复杂性，最 后通过实例进行了验证. 关键词:系统聚类;模糊聚类;灰色关联聚类;最小支撑树;最大支撑树 中图分类号:O巧7.6