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一类具有依赖状态脉冲的泛函微分系统的稳定性分析

唐晓伟  
【摘要】: 本文主要研究如下的脉冲泛函微分系统的稳定性性质. 在自然界中很多现象的数学模型都可以用脉冲泛函微分系统来描述.例如,物理、生物、人口动力学、生物技术、控制论等领域.由于该系统的复杂性,在建立了基本理论之后,稳定性结果才逐步建立起来.应当注意的是,这些结果大都是关于具有界滞量的脉冲泛函微分系统的,而这些结果并不能直接推广到具无界滞量的脉冲泛函微分系统. 另一方面,具依赖状态脉冲的微分系统包含了具固定时刻脉冲的微分系统这一特殊情形,具有更广泛的应用范围.由于该系统轨线的复杂性,它的研究比较缓慢.目前,相关的研究成果多侧重于常微分系统以及有界滞量的泛函微分系统,而且大多数结果都限制解曲线依次碰撞每个脉冲面仅一次. 鉴于此,本文重点研究系统(Ⅰ)的稳定性理论,具体内容分为两章. 第一章,主要研究系统(Ⅰ)的(h_0,h)-稳定性质.所谓(h_0,h)-稳定性是指用两个测度函数h_0,h分别描述初始状态和零解的状态的稳定性,其意义在于通过测度函数h_0,h的不同的选取形式,使系统的零解的不同类型的稳定性得以统一.首先,我们用比较方法研究了系统(Ⅰ)的(h_0,h)一稳定性.通过建立比较原理,利用向量Lyapunov函数得出比较结果.但由于我们允许脉动现象出现,因此在比较定理中脉冲条件与以前的结果有所不同.接下来我们结合Razumikhin技巧建立了条件更容易实现的比较原理.于此同时,给出例子验证定理的可行性.最后,我们通过构造新的特殊的集合,引入新的限制条件,利用Lyapunov函数结合Razumikhin技巧得到了判定系统(Ⅰ)(h_0,h)一稳定的直接结果.从以上内容可以看出具依赖状态的脉冲以及无穷延滞对系统产生的影响.需要强调的是,本章中我们允许系统(Ⅰ)的解曲线与每个脉冲面不只碰撞一次,但至多有限次. 在第二章中,我们研究了系统(Ⅰ)的非零解x(t)的稳定性.由于系统(Ⅰ)是一个具依赖于状态脉冲的泛函微分系统,对于给定的非零解x(t),其稳定性性质并不等价于零解的稳定性性质,所以研究系统(Ⅰ)的非零解的稳定性具有一定的理论意义.首先,我们直接从系统本身出发,给出了判定系统(Ⅰ)的非零解x(t)的一致稳定,一致渐近稳定的充分条件,从中可以看出具依赖状态脉冲的泛函微分系统从稳定性定义到判别方法等方面所出现的新的困难.第四节,我们利用一具固定脉冲时刻的泛函微分系统作为桥梁,将研究系统(Ⅰ)的非零解x(t)的稳定性问题转化为研究一个具固定脉冲时刻的泛函微分系统的零解的稳定性问题,从而借助于已有的较为成熟的理论来解决问题.与第一章不同的是,本章中我们要求系统(Ⅰ)的任一解依次与每个脉冲面只碰撞一次.最后,给出例子验证定理的合理性.


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