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非线性算子不动点理论与常微分方程正解的讨论

李兴昌  
【摘要】:本文的目的是在半序理论的基础上,利用非线性泛函分析方法研究Banach空间中算子不动点理论及非线性常微分方程边值问题正解的存在性.并得到了一些的新成果. 根据内容本文分为以下四章: 第一章绪论,主要叙述了Banach空间中非线性算子不动点理论与常微分方程边值问题的历史背景和发展,及本文的主要工作. 第二章主要对三类非线性减算子不动点定理及其应用进行了研究.第一节利用著名的Schauder不动点定理,得到了不需要满足凹性,凸性,压缩条件的非锥映射减算子不动点定理,并将结果应用到具有单调递减非线性项的微分边值问题,此非线性项可以关于u=0奇异;第二节对可分Banach空间上一类不附加任何连续性条件和紧性条件的随机算子进行了研究,得到了一类随机局部减算子不动点存在唯一性定理,并由此给出了应用到积分方程的两个例子.第三节利用锥理论和单调迭代方法,得到了Banach格上不动点的理论结果,此结果不需要利用上解或下解,本抽象结果被用来研究常微分方程解的存在唯一性. 第三章对三类混合单调算子的不动点定理及应用进行了研究.第一节介绍了序Banach空间上的т-φ-混合单调算子,并获得了此类算子不动点的存在唯一性定理,然后应用于解决带有Neumann边值条件二阶微分方程正解的存在性问题.第二节对算子A,L不满足连续性和紧性条件下,利用锥理论和半序方法,得到了非线性算子方程A(x,y)=Lx解的存在唯一性定理,并将所获得结果应用于常微分方程的初值问题.第三节对不附加连续和紧性条件的混合单调算子,增算子与减算子进行了研究,获得了关于此类算子方程组解的存在唯一性定理,并把抽象结果应用到非线性积分方程. 第四章在半序理论的基础上,利用非线性泛函分析方法研究Banach空间中常微分方程边值问题正解的存在性.第一节通过将微分方程化为积分方程组,并利用锥上的不动点指数定理,研究了一类二阶边值问题正解的存在性,其中不要求非线性项f(t,u)非负,得到了其正解存在的一个定理.第二节利用非线性备择性定理,研究了无穷区间上一类二阶奇异Sturm-liouville边值问题,其中f(t,u,v)可在t=0,v=0处奇异,得到了其Cp1[0,∞)正解存在的一个判定方法.第三节研究了一类二阶常微分方程,给出了所述线性方程在几种m点边界条件下解的存在惟一性及其解的解析表达式,作为应用的例子,并对一类非线性边值问题给出了正解的迭代求法.


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