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分数阶偏微分方程及时间尺度上动力系统的定性分析

王江峰  
【摘要】:众所周知,对于整数阶和分数阶的微分方程而言,求其通解是非常困难的,有时甚至是不可能的.因而数学研究者只能从方程本身去分析它的解可能具有的某些性质,譬如:存在性、有界性、振动性、渐近性、稳定性等,此类问题的研究促进了方程定性理论的发展.分数阶微积分理论(包含分数阶积分方程、分数阶微分方程、分数阶积分微分方程及数学物理方程中的一些特殊的函数)作为一个全新的数学研究分支,在流体力学、多孔结构、扩散系统、动力系统的控制理论等领域都有重要的应用。由于分数阶微分方程在诸多方面的理论研究才刚刚起步,因此分数阶微分方程的振动理论尚不完善.本文主要研究了几类分数阶偏微分方程解的振动性,分数阶时滞偏微分方程解的振动性和时间尺度上的一类Volterra-Fredholm型动力积分不等式和两类时间尺度上动力系统的有界性、渐近性,推广并改进了文献中的相关结果.主要内容如下:第一章简要概述了分数阶微分方程及分数阶偏微分方程解的振动性,时间尺度上的一类Volterra-Fredholm型动力积分不等式和时间尺度上动力系统的有界性、渐近性的研究背景与发展概况,同时介绍了本文的主要工作.第二章,根据Riemann-Liouville分数阶微分积分定义,利用广义Riccati技巧、积分平均技巧以及微分不等式理论,我们讨论了一类带阻尼项的分数阶偏微分方程解的振动性,所得结果推广和改进了相应文献中的己有结论.在第三章中,我们研究了一类带阻尼项的分数阶时滞偏微分方程微分方程解的振动性,得到了相关条件下解产生振动一些新的准则,推广并改进了己有的结果.在第四章中,给出了时间尺度上的一类新的非线性的Volterra-Fredholm型动力积分不等式,利用此不等式进而分析时间尺度上的动力方程解的定性性质.在第五章中,我们利用了时间尺度上一个不等式,研究了一类时间尺度上三阶和n阶动力方程解的有界性及渐近性,所得结果推广和改进了相应文献中的己有结论.最后部分,我们对今后的研究工作进行了展望.


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