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Hopf Galois余扩张理论

王延新  
【摘要】: 论文考虑的主要内容是Hopf Galois余扩张,余扩张和扩张可看作是一对对偶的概念,有关Hopf(Galois)扩张的内容已很丰富,而Hopf(Galois)余扩张研究的相对较少[2][6][7]本文主要围绕bigalois余扩张及模余代数的扭曲这两方面来做进一步研究. 第一节中,介绍Hopf Galois余扩张及其有关的基本概念及某些已有的结论,特别地,讨论了Cross余积的等价,得到: 定理1.2.3 H-cocleft扩张D/C与D′/C同构(0/C):(D’/C),则(D/q叫(D/q决定了C的H-cocleft扩张的同构类和H在C上的cross余系的等价类之间的一一对应. 定理1.2.4设D/C是H-cocleft扩张,有cosection扒(^Q)为对应的cross余系,则下等价. i)D/C是H-smash余扩张. ⅱ)(D/C)是Cross余系(/Q,)的等价类.其中d(e):f(c)18l, ⅲ)存在满足EHU‘印的uEReg(C?丑),使得寸正EC, t(引:∑(?)其中p(正):∑(?) 第二节介绍Hopf bigalois余扩张,首先根据内容的需要,定义了一个映射于:CC_BC→H,并讨论了它的几个关系式。 命题2.1.3假设C/B是右H-Galois余扩张,c8d,工8 9乏C二月C h乏/r/.cfC,有 。H(咛d)二EC(C)。C(q 二。IOCZ= E饲1 (C令d)h二CON·hJ 卜 川令d二杠…(C个用 八。(dd)-二(。QdJ。(c10d2) Z of’(CZOd)二E(川 (。oy)(dd)一CO(y·(C0d)) 。0yi )(too。)二E(y(。OE) 其次证明釉雌 C是忠实余平坦的,则能舶 HOPf Galois余扩张的双做 是HOPf代戮,即: 觑 2.2.2设 H是方双做,C堆蹦 HGalois余扩张,而且 C在 k 上是忠实余乎坦的,则H是一HO扯做. ’第二节靶珊中,对腑的B—k,从一忠实余平坦的右HGaloi。余扩 张C/B,构造了一个HOPf代数L,使C/B做成LHbi吵i。余扩张,即使得 C/B即朋右HGaiois余扩张,又做脏LGalois 余扩张,同时左L鹏 构、右 H@洲地 C r LB g,羹于 p(注 2.3.3)的双射性,胸靴: 定N 3.3.7设 H是 HOPf敝,C/k是忠实余千坦的右 HGaloi。余扩 张,则L—(C8q”是叶HOPf腕,由于o一C/CH“=k,可用Z额C 中元素C在k中的象,则L的乘法、单位、余斓、余靴-如下给出: Vzo9.Cod6人 叫(C@川e(C日d》一C·(叩C)口d 。(。)-Zc;。c。 d(。。)-Z(工。。功}。。。。。。) E(。o9)二。(E)E() s(X。。)-Z扣·s。。。0。。)。X 而且C八是LH七…is余扩张,对任一双做B及C的左B-模余敝结 构一使得Q&是尽DhwdO余扩张,则存在唯一的双瑚同构1B一人 使得一=尸( @口). 2 定义了余等价子及范畴X为:对象是有双射对极的交换H叩f代数,态射 是k的忠实余平坦的bigalofg余扩张的同构类,复合为余别子. 并有结论: 朗23.*设人H,R为HOPf做,口乃是忠实余乎坦的LH上 余扩张.D斥是忠实余平坦的 HB七 余扩张,则(口 @H D)八是忠实 余平坦的LHbigaloig余扩张. 定理2.3.13范畴刀是一个广义群. 对一右H-模余代戮C,在文献叵中,由一满足棚条件的元紊,E HOD(cH因q,叶 一Z C刁cco,额定义了C的一个余代数椰乌k 一 Z 01·12.1@ 12.0。使得 y一K,乙*依然是右 H、模余做,此处称0为 C的 扭曲,第三节中,我们讨论扭曲与HOPf Galois余扩张. 首先,我们有扭曲与左扭曲的关系 臼回互.1.2取7 C U叮(q〕,逆为人记小)一 z厂1召CO,vC)=Z 一1)o0), 定义 f卜):c一、csDZ卜)(一二>h(。t·幻c。/-;t)5k-山eSk-山 取丫 E U(二(q),逆为广记了(4-z匈因(,0()-Zqo}因二(小定义 ,辽7):c一H口c:了(丫)辽c)=ZS(cJ。oq.(。〕·S(h、己二〕)’kDZ 则理() C U(L(C〕〕,rM E U叮(C〕);且*( 1一,t(M)二1.枯拐地罗对恒等 映射),a’,有t辽d)=。后,r〔/)=o. 定义了一个扭曲的2-余循环。,然后由a构造了一


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