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非线性方程组问题的自适应信赖域方法研究

李红伟  
【摘要】:本文主要研究求解非线性方程组问题的自适应信赖域方法,此外还将自适应信赖域方法应用到广义非线性互补问题上。在研究广义非线性互补问题时,我们是将广义非线性互补问题转化为非线性方程组问题,再利用自适应信赖域方法解决。论文共分为三章。 第一章是序言,主要介绍了非线性方程组问题、广义非线性互补问题的研究现状以及本文的主要研究工作。 第二章研究了非线性方程组问题的自适应信赖域方法。与传统的信赖域方法相比,自适应信赖域方法的优点在于:其信赖域半径是根据当前的迭代信息自动调节产生。在本文中我们设计了一个新的自适应信赖域半径(△_k=((c~p‖F(x_k)‖~2)/(‖J(x_k)F(x_k)‖))),给出了—个自适应信赖域算法,并证明了算法在一定的条件下具有全局收敛性和Q-二阶收敛速度。数值试验结果表明,我们改进后的信赖域半径使算法在迭代过程中十分有效,不但减少了迭代次数还减少了函数和梯度的赋值。 第三章为广义非线性互补问题的自适应信赖域方法。首先我们给出了广义非线性互补问题的几种等价转化形式,然后利用自适应信赖域方法求解此问题。算法中我们结合了LMM法与自适应信赖域法来求解搜索方向(d_(k,p)):用LMM法计算LMM方向(d_k~M)时,储存量小易计算;用自适应信赖域方法计算搜索方向(d_(k,p)~(tr))时,充分利用了当前的迭代信息,使子问题中的某些参数可以自动调节,有利于改进算法的收敛性能。本文中我们采用了调节参数u_k=‖H(w_k)‖~δ,δ∈[1,2],并证明出:当δ=(5~(1/2))-1时,算法是Q-二阶收敛的;当δ≠(5~(1/2))-1,δ∈[1,2]时,算法是超线性收敛的。数值试验结果表明本章的自适应信赖域算法不但可行而且十分有效。


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