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非线性微分方程若干问题的研究

毛锦秀  
【摘要】: 本文利用锥理论,不动点理论,Krasnoselskii不动点定理、上下解方法等研究了几类奇异微分方程半正边值问题和积分边值问题解的存在性和唯一性等情况,同时建立了混合单调算子的一些新的不动点定理.通过深入的研究,在较弱的条件下获得了一些新的有趣的成果. 全文分为四章.第一章,我们主要介绍了非线性泛函分析的历史背景和一些基本概念.第二章,我们建立了混合单调算子的一个新的不动点定理及几个有用的推论,并给出了对非线性积分方程的应用. 第三章,我们把注意力放在积分边值问题的研究上.§3.2.,我们得到了一类积分边值问题C1[0,1]正解和C[0,1]正解的存在和唯一性.并且,还给出了C1[0,1]正解对参数的连续依赖性.§3.3,我们仅要求f(t,u)关于u是减的,得到了正解的存在性.§3.4,我们处理了扰动方程的积分边值问题,得到了C1[0,1]正解的存在唯一性.其中f(t,u)关于u是增的.§3.5,我们仍然研究扰动方程,但要求f(t,u)关于u是减的.得到了C1[0,1]正解和C[0,1]正解的存在和唯一性. 第四章,我们利用两种不同的方法研究奇异半正边值问题.§4.2,我们用不动点指数结合平移变换的方法来研究边值问题(3.1.1)得到了其Cp1[0,1]正解存在的一个新结果.§4.3,我们研究半正且非齐次的边值问题.通过构造辅助算子θ:C[0,1]→C[0,1](θx)(t):max{x(t),(?)(t)},x∈C[0,1],(其中(?)(t)∈C[0,1]是一个非负函数)来定义一个映锥到锥的算子,从而应用Krasnoselskii定理来得到奇异半正边值问题(SL.σ)正解的存在性.


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