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三类非线性方程的超收敛分析及外推研究

杨朝晖  
【摘要】:本文主要研究具有很强实际应用背景的三类非线性方程:非线性粘弹性方程,一类广义神经传播方程和非线性Sobolev方程.分别用双线性元、Hermite型矩形元及一个非协调元解逼近时的收敛性、超逼近性、超收敛性及外推格式.其中对前两个单元来说,主要利用积分恒等式及其渐进展开式,通过构造辅助问题,提出相应地适当外推格式以提高有限元的逼近精度.而对于非协调元来说,主要借助于单元的特殊性质:例如精确解与其有限元插值之差在能量意义下正交、相容性误差比插值误差高一阶、导数转嫁等技巧导出了与使用协调元时完全相同的超收敛结果.研究表明直接利用单元上插值算子的性质对某些单元来说不仅可以简化证明过程,比使用传统的Ritz投影减少工作量,有时还可以得到比以往文献更好的结果,从而进一步扩展了有限元方法的使用范围.


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