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《郑州大学》 2017年
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基于MLS近似的无单元/无网格方法及其在高阶连续结构数值模拟中的应用

常利武  
【摘要】:近年来,应变梯度理论、偶应力理论等高阶连续理论被广泛地应用在微/纳米结构以及需要考虑微结构特征影响的宏观结构的理论研究中。在这些高阶连续理论中,除了传统的应变(位移的一阶导数),还需要考虑位移高阶导数的影响。通过引入转角(挠度的一阶导数)和曲率(挠度的二阶导数),二维的梁被简化为一维问题,三维的板被简化为二维问题,由于位移、转角和曲率是共存的基本变量,它们可以被看作简单的高阶连续结构。当考虑梁或板中的梯度效应时,基于高阶连续理论建立的梁或板模型需要考虑挠度的更高阶导数。高阶连续结构给传统数值模拟方法带来很多新的问题,例如,为了构造C1连续单元,有限元方法将转角或应变梯度处理为基本未知量,工作量被显著提高。如果构造具有C2连续或者更高阶连续特征的单元,工作量将变得更大。在其它类型的数值方法(如,边界积分方程方法)中,当位移及其导数或高阶导数为共存的基本变量时,也会遭遇到上述问题,本文将它们统称为高阶连续结构。相对于传统的有限元方法,近些年发展起来的无单元/无网格方法具有许多新的优点。移动最小二乘(MLS)近似构造的形函数具有高阶连续特征,为高阶连续结构的数值模拟带来了极大的方便。本文研究基于MLS近似的无单元/无网格方法在高阶连续结构数值模拟中的应用,完成的主要工作如下:(1)针对平面裂纹问题的面力边界积分方程中的超强奇异积分不方便计算这一问题,利用分部积分降低积分核的奇异性,推导新的面力边界积分方程,它与传统的位移边界积分方程组成一对边界积分方程,即在外边界应用位移边界积分方程,在裂纹表面应用新的面力边界积分方程。同时,在分部积分中引入两个新的变量——位移密度和位错密度(位移和位错的一阶导数),它们和位移以及位错一起构成了问题的基本变量。利用移动最小二乘近似形函数的高阶连续特征,将位移密度和位错密度直接用节点位移和位错近似,建立了求解平面裂纹问题的新边界无单元方法,并应用该方法分别对含直线裂纹的方形板、含折线裂纹的矩形板、无限大板中的共线裂纹以及无限区域内的弧形裂纹等问题进行了数值计算。数值算例结果表明,本方法可以取得较好的计算效果。(2)在Kirchhoff薄板理论中,挠度、转角和曲率都是基本变量,本文将其看作简单的高阶连续结构。利用移动最小二乘近似的高阶连续特征,将曲率(位移的二阶导数)直接用节点挠度近似,建立了求解Kirchhoff薄板问题的无网格数值计算方法,并系统分析了节点布置、影响域选取等因素对计算精度的影响规律。(3)应用应变梯度理论研究薄板弯曲问题,引入材料特征长度因子反映材料的特殊本构关系,建立的Kirchhoff应变梯度薄板模型中包含挠度的二阶、三阶和四阶导数,其数值实现需要构造具有C3连续性的形函数。本文应用移动最小二乘近似构造形函数的1-4阶导数,分析了其连续特性,建立了Kirchhoff应变梯度薄板问题的无网格数值计算方法,并通过数值算例分析了影响计算精度的关键影响因素。当高阶导数被考虑时,为了获得好的计算精度,需要采用更大的影响域。(4)利用移动最小二乘近似建立了偶应力理论的无网格数值计算方法。通过对悬臂梁及含孔洞的偶应力薄板问题进行计算分析,研究了悬臂梁弯曲刚度随着长度因子的变化规律,分析了含孔洞的薄板结构中孔洞周围的应变分布规律及其影响因素。(5)裂纹开裂问题涉及不连续位移场的模拟、裂尖奇异场的处理、开裂标准等关键问题。本文将内聚力模型、裂纹段模型引入到偶应力结构裂纹问题的数值模拟中,应用移动最小二乘近似建立了偶应力结构裂纹扩展问题的非线性迭代计算框架,对相关影响因素进行讨论和分析。数值计算结果表明,本文的数值计算方法可以有效地模拟裂纹扩展问题。
【学位授予单位】:郑州大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2017
【分类号】:O33;O302

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