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带宽临界图与带宽极图问题

杨爱峰  
【摘要】: 带宽是图论中的一个重要的不变量。其定义如下。给定一个简单图 G=(V,E),其中|V|=p。任意一个双射f:V→{1,2,…,p}称为图G的一个标号。对 图G的标号f,所有边两端的最大标号差B(G,f)=max|f(u)-f(v)|称为图G在标 号f下的带宽;而B(G)=min{B(G,f):f是图G的标号}是图G的带宽。本文研究 了与图带宽的临界性和极值性有关的一些问题,由以下两部分组成:1.3- 临界单圈图和3-临界树的刻划;2.带宽极图问题。 1.3-临界单圈图和3-临界树的刻划。 Syslo和Zak首先提出了(带宽)k-临界图的概念(若B(G)=k,而图G的任 意真子图的带宽小于k,就称图G是k-临界的)。P.Z.Chinn提出了另一种k- 临界图的定义,即图G的带宽为k,但G经过删去任何一个顶点或收缩任何 一个2度顶点这两种运算后所得到的图的带宽小于k,并且刻划了3-临界树 的结构特征。本文采用第一种定义。我们在第二章里大致介绍了一般k-临 界图的性质,给出了一系列3-临界单圈图,我们还刻划了3-临界树的部分 结构特征,并且构造了许多3-临界树。 定理1 设图G是圈C_n(n≥8)在点v_1及v_k处分别加悬挂边v_1x和v_ky( 3≤k≤[n/2]-1),那么图G是3-临界的。 定理2 设图G是圈Cn(n≥5且为奇数)在点v_1及v_k处分别加悬挂边v_1x,v_1 y和v_kz(k=(n-1)/2),那么图G是一个3-临界的。 定理3 设图G为圈Cn(n≥6且为偶数)在点v_1及v_k处加悬挂边v_1x,v_1y,v_kz 和v_kt(k=n/2),那么图G是3-临界的。 定理4 设图G为圈Cn(n≥5)在点v_1及v_2处加悬挂边v_1x,v_1y和v_2z,那么 图G是3-临界的。 另外,我们还给出了几个具体的3-临界单圈图,此处不再列出。 定理5 对任意3-临界树丁p厂枉4X有 D(T)+6 SI厂(丁川5 ZD(T)+二. 定理6 我们用以下方法构造的树T是3爿墒界的: 门)在星局,3的三条边W3I砌ty及vov3上分别加I,b,el个剖分点,其中 15a5b: o)在(1)所得树的悬挂点川和心处分别联两个1度顶点,13处联一个1 度顶点,所得的树记为T 定理7 我们用以下方法构造的树TR3-临界的: *)在星K;,。的三条边上分别加a人b个剖分点,其中卜 ash; (2)在(l)所得树的悬挂点上分别联两个1度顶点,所得的树记为T. 2.带宽极图问题 文p尸1提出了一类极图问题:给定连通图 G的顶点数 p及带宽 B,求 边数的最小值及相应的极图.本文受到此问题的启发,提出了另一类极图 问题,图G除了满足上述条件以外,还要求d(QSB.这个边数的最小值 就用函数M,B)表示.M,B)的极图是满足条件1叮G)l=p,B(G)咄,6(G) sB 及【E(G【==M,B)的图.我们在第三章里,给出了一些满足一定条件的加,B) 的表达式及相应的极图. 命题二 O)当po时,M,1卜1,兄是加,n的唯一的极图:o)当尸打 时,彻、Zto,C是穴A2)的唯 的 图:(3 o。*一,兄是n 2 一1)的唯一的极图. 定理8 设尸=3灯r(kZ1,1三r三3).则 *)当,;时,M,。一2卜七卜+2,完全(k+l“部图K3入,u。肋,。 tZ]“—、·——。,——一—、-. 一2)的一个极图; O)当一Z时,加,p—2户叫尸卜r+l,完全(k小部图K3人.V聊,n一 门1 2)的一个极图; 5 *)当,3时,j(,。-2广0-A完全(k+*-部图K3,工,。幼,。-2)的 IZ)“”””’“”’“—“”“ 一个极图. 定理 9 当尸 z 4B—2 ( z 3)时,s,B)=r—l,Tr。幼F)的一个极图 (图C的定义见第三章). 定理10 卜+2 p=4 。。、P+lp=5,6,7,8 o.3)={“ IP P=9 t P—lp Z 10 定理* 而.4;=J P+5。=5 卜十3 尸=6,7


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