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《郑州大学》 2006年
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穿衣方法与离散可积系统

朱俊逸  
【摘要】:穿衣方法最早是由Zakhrov和Shabat在上个世纪70年代创立的,它从一个积分算子F和两个Volterra算子K~±出发,利用积分算子的三角分解关系得到Gel'fand-Levitan方程.然后利用穿衣关系将已知常系数可交换微分算子(初始算子)M_j,j=1,2,变为可交换的穿衣算子M_j,j=1,2,并由此得到非线性演化方程。为了得到此方程的解,就需要从积分算子F与已知算子M_j,j=1,2的可交换性求得积分核F,最后由Gel'fand-Levitan方程构造出微分核K的表达式,从而可得方程的解。 推广的穿衣方法是由常系数可交换的算子M_j,j=1,2,推广为变系数的算子,并且满足推广的可交换关系。利用定理2.3,以及与上面的方法相平行的方法,就可以得到一系列的变系数演化方程,以及它们的解。利用这种推广的穿衣方法,可以得到一大类的演化方程,而不再是孤单的一个方程。 接下来,作者利用推广的穿衣方法首先考虑了AKNS谱问题,利用两组变系数初始算子对,分别得到变系数耦合mKdV方程和变系数耦合NLS方程,同时,还给出它们的显式解,并利用分解的思想,将(2+1)-维变系数KP方程分解为已得的(1+1)-维变系数耦合mKdV方程和变系数耦合NLS方程,然后利用(1+1)-维变系数耦合mKdV方程和变系数耦合NLS方程的相容解,得到变系数KP方程的显式解,作者考虑推广穿衣方法的另一个应用是得到变系数DS方程,同时,得到它们的显式解。 穿衣方法的理论发展主要有两种:一种是基于Riemann-Hilbert问题的穿衣方法,即一定程度上的经典Darboux变换方法;另一种是基于局部(?)-问题的(?)-穿衣方法,本文在第3部分首先介绍了(?)-穿衣方法,包括方程的构造和解的构造,然后介绍了正交曲纹坐标系,Gauss-Lame方程和Gauss-Codazzi方程。由于已经知道Gauss-Codazzi方程的解,而可积系统与可积几何之间的关系也已经被建立起来.作者利用Gauss-Lame方程和适当的约束条件将上述二者联系起来,利用已知的Gauss-Codazzi方程的解来求解具体的可积方程。作为例子,本文考虑了Sine-Gordon方程和Tzitzeica方程,并给出它们的新解。 在第4部分,考虑了一个离散谱问题,将它的伴随谱问题同时展开为λ的正幂和负幂多项式,由此得到了一族离散方程,同时还利用迹恒等式给出了该族离散方程的Hamilton结构,接下来,本文又考虑了两个(1+1)-维变形Toda链,而这两个(1+1)-维离散方程恰为由伴随谱问题分别按λ的正幂和负幂展开所得到的第一个非平凡方程,最后,利用Lax矩阵的有限阶展开方法给出这两
【学位授予单位】:郑州大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2006
【分类号】:O177

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【引证文献】
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1 何国亮;三角曲线与孤子方程的代数几何解[D];郑州大学;2012年
【参考文献】
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1 王红艳;相关Toda链方程的达布变换[D];郑州大学;2004年
【共引文献】
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1 耿翊翔;非线性演化方程的精确解及其动力学行为研究[D];昆明理工大学;2008年
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10 高勇强;累次齐次平衡法在孤子方程求解中的应用[D];辽宁师范大学;2010年
【同被引文献】
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1 ;Coupled Nonlinear Schrodinger Equation: Symmetries and Exact Solutions[J];Communications in Theoretical Physics;2009年01期
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3 王建勇;俞军;楼森岳;;Symmetries and Algebras of a (2+1)-Dimensional MKdV-Type System[J];Communications in Theoretical Physics;2010年06期
4 ;Generalized Wronskian Solutions to Modified Korteweg-de Vries Equation via Its Bcklund Transformation[J];Communications in Theoretical Physics;2008年07期
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1 陈金兵;有限维可积系统、无穷维孤子系统及其显式解的代数几何构造[D];郑州大学;2006年
2 苏婷;广义穿衣方法和代数曲线方法在孤子系统中的应用[D];郑州大学;2009年
3 薛波;具有N-Peakon的新可积模型与孤子方程的代数几何解[D];郑州大学;2010年
【二级引证文献】
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1 龚东;与2×2离散矩阵谱问题相联系的孤子方程族的拟周期解[D];郑州大学;2013年
2 王辉;具有尖孤子解的新可积模型以及孤子方程解的代数几何构造[D];郑州大学;2014年
3 翟云云;代数曲线与孤子方程的拟周期解[D];郑州大学;2014年
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5 曾云波;和高阶约束相联系的可积系统[J];数学学报;1995年05期
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4 施英;离散可积系统的精确求解方法[D];上海大学;2014年
5 郝昆;量子可积系统关联函数的研究[D];西北大学;2013年
6 朱俊逸;穿衣方法与离散可积系统[D];郑州大学;2006年
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2 李玉青;高阶矩阵谱问题与离散的可积系统[D];山东科技大学;2009年
3 贾晓静;离散可积系统的多维相容性和拉格朗日结构[D];广西民族大学;2012年
4 刘金元;可积系统相关问题的研究[D];山东科技大学;2009年
5 马琳琳;非线性可积系统与可积扩展[D];山东科技大学;2008年
6 谷亚楠;离散可积系统与圆域的刚性[D];广西民族大学;2013年
7 魏媛;可积系统相关问题的研究[D];山东科技大学;2006年
8 唐雷雨;离散的可积系统及其可积耦合系统[D];山东科技大学;2010年
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10 农丽娟;离散可积系统与圆填充的M(?)bius不变量[D];广西民族大学;2011年
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