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任意四边形单元和各向异性单元的若干问题研究

吴景珠  
【摘要】:四边形单元与三角形单元相比,具有网格简单、刚度矩阵带宽小、计算量小等优点,而矩形单元对求解区域的边界的近似有一定的局限性,因此将任意四边形单元用于求解问题更有理论意义和实际价值。 G.Acosta,R.Duran在文献[1]中指出弱角条件RDP(N,ψ)似乎是最弱的网格条件,并证明了在此条件下凸四边形单元K上Q_1等参元在H~1模下的最优插值误差估计,即RDP(N,ψ)是凸四边形单元K上Q_1等参元在H~1模下取得最优插值误差估计的充分条件。但是否是必要条件呢?他们将它作为一个悬而未决的问题。Z.Zhang在[69]中推测它是必要的。然而,本文通过一个反例证明了弱角条件RDP(N,ψ)不是凸四边形单元K上Q_1等参元在H~1模下取得最优插值误差估计的必要条件,从而圆满解决了这一问题。 对于Stokes问题,本文构造了两个新的低阶非协调任意四边形单元。新单元与以前用于讨论相同问题的单元相比兼有构造简单;使用方便;形函数空间的基函数的次数低;能较好的逼近求解区域边界等优势。由于新单元不含任何协调部分,误差估计比较困难,通过采用更加简洁的证明方法得到了最优误差估计。特别指出的是,其中一个单元在矩形网格下,还是一个Locking-free元,可用于平面弹性问题。另外,本文通过引入变网格思想又将该单元用于非定常Stokes问题得到了最优误差估计。 众所周知,在构造有限元时,单元自由度和形函数空间应当匹配,一方面使有限元空间中的函数在跨越单元边界时,具有某种积分意义下的连续性,同时自由度又是有限元离散方程的未知量,应取得简单,使整体自由度尽量的少。同时具备这两个性质的自由度的选取往往是很困难的。陈绍春教授和石钟慈院士提出了构造有限元的双参数法恰好解决了这一矛盾,并由此构造了许多有价值的双参数有限元(见[54,70,71]等)。但有关双参数有限元方法用于变分不等式问题的研究还不多。因此本文将一个12参双参数矩形板元用于四阶位移障碍变分不等式问题,同时通过引入与已有文献不同的新技巧给出了与常规有限元相同的最优误差估计。值得一提的是,我们的结论对几乎所有已知的非协调元都成立。 各向异性有限元方法的研究是目前有限元领域内的亮点和难点之一。由于在各向异性网格剖分下,传统的Sobolev插值理论不能直接利用。虽然T.Apel给出了一个检验单元能否应用于各向异性网格的标准,但应用起来很不方便。陈绍春教授和石东洋教授概括


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