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《郑州大学》 2007年
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纯位移平面弹性问题二阶收敛Locking-free有限元

任国彪  
【摘要】: 本论文的主要内容是针对纯位移平面弹性问题,基于能量最小化原理构造二阶收敛的Locking-free有限元格式,以及三维类-Wilson元的各向异性分析。 应用有限元方法解决平面弹性问题,当材料的Lamé常数λ→∞时,即对于几乎不可压材料,某些格式有限元的解不再收敛到原问题的解或达不到最优收敛阶,这就是弹性材料的“闭锁”(Locking)现象。为克服Locking现象,近年来发展起来了若干种方法,如混合元方法,高次元的p-version和hp-version方法、宏元技巧和降阶积分法等,本文是基于能量最小化原理来构造Locking-free有限元。 要构造二阶收敛的Locking-free有限元,协调元只有高阶单元才是Locking-free的,而且需要较多的自由度。而非协调元具有总体自由度少、单元刚度矩阵正定对称、易于求解,且同样能达到最优收敛阶的优点,本文中构造的四个Locking-free单元都是非协调元。 对于纯位移平面弹性问题,本文在不完全三次多项式空间中,通过将算子div限制在P_1中的方法,构造了两个三角形单元,文中分别称之为14-freedom三角形元Ⅰ和14-freedom三角形元Ⅱ;通过将算子div限制在Q_1中的方法,构造了20-freedom矩形元;通过将算子div限制在P_1中的方法,构造了18-freedom矩形元,这些单元都是Locking-free的,本文详细地给出了所构造的四个非协调元关于λ∈(0,∞)都是一致最优收敛的证明,误差的L~2模和能量模分别达到了3阶和2阶的收敛阶。在本文第6章,通过构造一个三线性各向异性插值算子,并由非协调项的能量正交性,给出了三维类-Wilson元的各向异性分析。在第7章,通过分析强制性边界条件,给出了一种效率更高的椭圆边值问题方程组的求解算法,给出了算例。 最后,在本文第8章我们给出两个数值算例来验证本文所构造的单元的有效性,这两个算例的解都是与λ有关的,其中第一个算例有精确解,我们给出了L~2-模和能量模误差的数值结果。第二个算例精确解未知,我们给出了一个误差估计函数来验证各单元的收敛性。算例以丰富的数据和图示验证了本文所构造的单元对于几乎不可压缩材料的弹性问题关于α∈(0,∞)是一致收敛的,且具有最优收敛阶。做为附注,最后一节给出了有限元解不收敛于真解和收敛阶降低两种Locking现象的数值结果。
【学位授予单位】:郑州大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2007
【分类号】:O343.1

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