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连续与离散SG方程及相关孤子族的精确解析解

王争艳  
【摘要】: 本文研究几个可积的偏微分方程,包括连续和离散的sine-Gordon方程(SG),变形Korteweg-de Vries方程(mKdV)等。为计算这些可积模型的精确解析解,应用了代数曲线方法,并与特征值问题非线性化相结合,求解分为“分解,拉直,反演”三个步骤。 首先,从与SG方程和mKdV方程相关的谱问题出发,借助基本恒等式和Lenard分析等强有力工具,得到三族可积模型(孤子族)及相应的零曲率表示。它们分别是:mKdV族,algebraic SG族和2+1 SG族。 在Bargmann约束下,通过将两个谱问题非线性化,得到两个有限维Liouville可积系统。有趣的是这两个系统具有相同的Lax-Moser矩阵和相同的N-守恒积分系,这些守恒积分两两对合,在相空间的某开集上函数独立。孤子方程(可积的偏微分方程)被分解为几个Liouville可积的常微分方程,其相容解生成可积偏微分方程的特解。由Lax-Moser矩阵决定一条代数曲线,在其Jacobi簇上,这些常微分方程的Hamiliton相流被拉直,于是可以直接积出。最后通过Jacobi反演,借助多元theta函数,得到这些偏微分方程的精确解析解。 Darboux变换(DT)是构造孤子方程精确解的十分有效的方法。本文除用此方法解决两个与Toda链相关的离散孤子方程的求解问题之外,还成功地从mKdV-SG族的Darboux变换中找到一个离散谱问题。从连续和离散谱问题组成的Lax对的相容条件出发,导出离散的SG方程。Lax对的离散部分由Darboux变换得到。文中找到相应的一个包含双叶黎曼面分支点的Bargmann约束。利用这个非常特殊的Bargmann约束,将由Darboux变换产生的离散谱问题非线性化,成功得到一个可积辛映射。利用类似连续系统的程序,先在Jacobi簇上将离散流拉直,然后算出离散SG方程的精确解析解。


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1 王争艳;连续与离散SG方程及相关孤子族的精确解析解[D];郑州大学;2008年
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