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广义穿衣方法和代数曲线方法在孤子系统中的应用

苏婷  
【摘要】:本论文主要分为两部分,其一:利用广义穿衣方法,讨论了一族可积变系数非线性Schr(o|¨)dinger方程,可积变系数Dirac系统及可积变系数Toda格方程;并得到它们的显示解和Lax对。其二:利用代数曲线方法,研究了高维可积离散系统并得到这些系统的拟周期解。 广义穿衣方法是戴晖辉教授和Jeffery于上世纪90年代提出的,它是经典穿衣方法的拓展。这种推广不但构建可积变系数非线性演化方程而且还给出其显示解和Lax对。它从一个积分算子F和两个Volterra算子K_±出发,由算子三角因式分解关系式得到GLM方程,再由穿衣关系将已知的变系数算子(M_1,M_2)变为变系数穿衣算子((?),(?))。从穿衣算子的相容性,得到可积变系数非线性演化方程。为了获得这些方程的显示解,利用初始算子(M_1,M_2)与算子F的交换性[M_k,F]=0(k=1,2),求得积分核F,最后借助GLM方程求得微分算子K_+的核,也即给出已经获得的方程的解。作为应用,一方面,借助n阶AKNS矩阵非保谱问题(n=2,3,N+1,2N+1)和Dirac系统,分别讨论了可积变系数耦合柱状NLS方程和mKdV方程;可积变系数耦合的Hirota方程和Manakov方程;一族可积变系数N-耦合NLS方程和可积变系数散焦NLS方程。另一方面,把广义穿衣方法由连续系统平行推广到离散系统,成功地讨论了可积变系数Toda格方程。特别的,给出了这些方程的显示解和Lax对。 曹策问教授于1988年提出了特征值问题非线性化方法,并被推广到求解高维孤子方程的拟周期解,这个方法是非常有效的,可分为三步来实现:即分解、拉直、反演。在本文的第六章利用此方法讨论了两个离散谱问题。其一,提出一个新的离散谱问题,进而获得与之相应的一族微分差分方程,有趣的是,给出了一个新的2+1-维离散导数NLS方程。在Bargmann约束下,这些孤子方程分解为两个相容的常微分方程和一个可积辛映射。然后引入母函数方法易证守恒积分的对合性和独立性,进而知这些系统是Liouville意义下是可积的。通过引入椭圆变量和Abel-Jacobi坐标,直化连续流和离散流。最后,借助Riemann-theta函数和Abel-Jacobi反演,得到孤子方程在原始坐标下的代数几何解。其二,用类似的方法,给出了一个新的2+1-维可积离散模型,并得到了丰富的结果。 耿献国教授提出的Lax方程解矩阵的有限阶展开法,也给出求解多维孤子方程的一个方法。即利用分解的技术,将2+1-维离散系统被分解为可解的常微分方程和离散流的演化,借助特征函数所满足的Lax方程的解矩阵,合适地引入椭圆变量,再利用代数几何知识,构造黎曼曲面。选取黎曼曲面上的Abel-Jacobi坐标,将所得有限维可积系统和离散流线性约化(或拉直)。在本文的第五章,利用此方法详细讨论了两类半离散系统,其一,半离散Kaup-Newell系统,有趣的是,它的一个2+1-维离散模型的连续极限恰是2+1-维Chen-Lee-Liu方程,并获得了这个方程的拟周期解。其二,半离散Chen-Lee-Liu系统,借助Lenard梯度序列获得一族非线性微分差分方程,更进一步得到了著名的2+1-维导数Toda格方程,相似的,得到它在原始坐标下的代数几何解。


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