从Rosochatius型可积系统到孤子方程

【摘要】：本文研究连续与离散的Rosochatius型有限维可积系统的构造,拉直与求解,并揭示它们与孤子方程的关系.主要利用代数曲线的工具以及母函数的技术. 对于连续情形,具体研究了Neumann-Rosochatius系统与Garnier-Rosochatius系统.大致思路和结果如下：首先,从变形的Lax矩阵出发,借助于母函数的技术,构造了相应的Rosochatius类型的Hamilton系统族.接着对这族Rosochatius型Hamilton系统进行“批处理”,通过引入代数曲线与Abel-Jacobi坐标,一举将整族Rosochatius流拉直,用准确无误的线性无关性证明了守恒积分的函数独立性.从而证明了整族Rosochatius系统的Liouville完全可积性.与此同时,也获得了该族系统的直接求积—获得了Rosochatius型可积系统在Jacobi簇上的线性形式解.最后,揭示了Rosochatius型可积系统与KdV方程的关系,即它们构成了KdV方程的一个新的可积分解.在此基础上,根据两个Rosochatius流的相容解,获得了KdV方程的拟周期解. 对于离散情形,我们提出并研究了辛映射的Rosochatius变形.我们给出了一个构造辛映射的Rosochatius变形的方法.通过该方法,获得了Toda辛映射,Volterra辛映射,以及Ablowitz-Ladik辛映射的Rosochatius变形.并且找到了它们的Lax表示,进而用r-矩阵方法证明了它们的可积性.不仅如此,我们还以Rosochatius型Toda辛映射为例、研究了它们与离散的孤子方程—Toda方程的关系.通过构造特殊的亚纯函数并借助于Abel定理,我们成功拉直了Rosochatius型辛映射.最后,通过Jacobi反演与Riemannθ函数,我们获得了Toda方程的拟周期解.