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《武汉大学》 2018年
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生物组织中光子漫射方程和输运方程的解析解研究

汪霖  
【摘要】:生物医学光子学是一门融合了生物学、医学、物理学、数学、计算机等多学科、多领域的新兴交叉学科。组织光学作为生物医学光子学的重要组成部分和理论基础,其核心任务就是从光子运动学的角度研究光子在生物组织中的传播和分布的规律,从光子动力学的角度研究生物组织的吸收、散射等光学属性的测量方法、手段和技术,为医学光学成像、光学活检诊断、光保健治疗等生物医学应用提供科学的支持。所以,研究生物组织中光子的传播规律和模型是组织光学,乃至生物医学光子学的最重要、最基础的任务。中子输运方程一直被认为是最能精确反映介质里中子传播规律的数学模型,倍受关注,并诞生了 Case方法、PN方法(包括P3近似、漫射近似等)、FN方法等解析方法和数值方法,极大地推动了中子输运理论的研究与发展,同时也被应用于光子输运理论,奠定了生物医学光子学的理论基础,推动了生物医学光子学的发展和进步。本文系统地研究了生物组织中的光子漫射方程,分别在直角坐标系、柱坐标系、球坐标系中,构建了一维、二维和三维多个维度,无界、半无界、有界等多种空间结构的均匀生物组织模型,结合不同的边界条件及其多种组合,应用偏微分方程理论,采用标准基函数法、本征函数展开法、镜像法等多种方法推导了时域光子漫射方程的格林函数解析解,为近似地描述、计算、研究光子在各种形状的生物组织中传播和散射的客观规律提供了解析的表达形式,进一步完善了组织光学中的光子输运近似理论。本文深入地研究了生物组织中的光子输运方程,分别对各向同性散射、方位角无关的各向异性散射和方位角有关的各向异性散射生物组织,应用Case方法,结合解析函数理论,从数学上证明了 Case奇异本征函数(CSE)的正交性和模值,并推导了光子输运方程的格林函数解析解,为“精确地”描述光子在生物组织中的传播和散射规律奠定了理论基础。与Case方法相对应,本文采用Fourier变换方法,推导了各向同性源和方向性源两种情况下的各向同性散射光子输运方程格林函数解析解;在复数域将广义奇异本征函数(GSE)和三项递推关系通解形式从方位角无关的各向异性散射情形推广到方位角有关的各向异性散射情形,构建三项递推关系的解,推导了方位角无关的和方位角有关两种情况下各向异性散射光子输运方程格林函数解析解;并从数学上(1)证明了 GSE与CSE在外在表示和内在行为两方面的一致性,即当复数域第一类GSE趋近于实轴上[-1,1]之外的离散本征值时,第一类GSE与Case方法中离散本征函数等价,当复数域第一类GSE趋近于实轴上[-1,1]的连续谱时,第一类GSE与Case方法中连续本征函数等价;(2)证明了 Fourier方法解析解与Case方法解析解的一致性,表明Fourier方法中极点的贡献与Case方法中的离散本征值贡献一致,Fourier方法中割线的贡献与Case方法中的连续本征值贡献一致,进而从理论上揭示了两种方法的一致性本质。本文对Chandrasekhar多项式(n= 0)和连带Chandrasekhar多项式(m0)进行了规范地命名,并探讨了扩展到复数域后的数学性质,系统地推导了(连带)Chandrasekhar多项式、(连带)Legendre函数及其扩展定义的相关函数之间的Christoffel-Darboux(C-D)公式或 Liouville-Ostrogradski(L-O)公式,并考虑到高阶高次连带Chandrasekhar多项式对生物组织的各向异性系数、反照率等典型光学属性的敏感性,采用特征值法、前向递推法、后向递推法和线性系统法对第一、二类连带Chandrasekhar多项式进行数值计算和误差分析,从而定量地评估高阶高次条件下每种数值计算方法的稳定性和适用性,得到第一、二类连带Chandrasekhar多项式的计算准则。
【学位授予单位】:武汉大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2018
【分类号】:O439;O175

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【参考文献】
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