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多解析函数的边值问题

汪玉峰  
【摘要】:本文首先系统地研究了所谓多解析函数和约化多解析函数的几种基本边值问题,包括:多解析函数和约化多解析函数的Riemann边值问题,多解析函数和约化多解析函数的Hilbert边值问题,多解析函数和约化多解析函数的Hasemann边值问题以及多解析函数的复合边值问题.这些边值问题的边界条件可以定义在实轴上或者简单封闭光滑曲线上。为了使边值问题的增长性条件提法合理,我们给出了多解析函数在无穷远处增长阶的定义,把解析函数在无穷远处增长阶的概念推广到多解析函数领域。我们采用经典法和转化法等两种方法求解多解析函数的边值问题而获得这些边值问题的可解性条件和解的表达式。简单说来,经典法与所谓的多Cauchy型积分相联系着;而转化法是利用多解析函数的分解定理把多解析函数的边值问题转化成等价的解析函数或者解析函数组的边值问题。为了利用经典法求解实轴上具有相同因子的多解析函数的Riemann边值问题,我们引进了实轴上多Cauchy型积分并研究了其基本的边界性质。同样,为了利用转化法求解多解析函数的各种边值问题,我们给出了多解析函数三种简单的分解定理并作出了代数学解释。对具有相同因子的Riemann边值问题而言,我们利用这两种方法得到形式不同的两种解,证明了这两种解之间可以相互转化。在这篇论文中,我们主要采用的方法是转化法,因为转化法对各种各样的边值问题都有效。其次,我们对亚解析函数的Riemann边值问题和亚解析函数的Hasemann边值问题进行研究.利用适当的变换,这些边值问题可以转化为等价的多解析函数的边值问题。 全文共分为七章,内容安排如下: 第一章主要介绍解析函数和多解析函数的边值问题及相关领域的研究背景和研究现状,并简要介绍了我们的工作及开问题。 第二章首先引进了多解析函数的三种简单的分解定理,并从代数模的角度对这些分解定理解释了一下,这些分解定理是转化法的基础。接着介绍了多整函数的Liouville型定理及其证明.最后,我们给出了多解析函数在无穷远处的阶的概念以及实轴上多Cauchy型积分.H.Begehr首先眼就研究了简单封闭光滑曲线上多Cauchy型积分,但实轴上多Cauchy型积分研究起来困难些。这一章的内容是全文工作的基础。 第三章首先利用多Cauchy型积分求解实轴上具有相同因子的多解析函数的Riemann边值问题,获得了解的一般表达式和可解性条件。其次,我们利用转化法求解实轴上具有不同因子的多解析函数的Riemann边值问题,获得了解的一般表达式和可解性条件。对实轴上具有相同因子的多解析函数的Riemann边值问题,利用这两种方法得到了形式不同的解,我们证明了它们之间是等价的,并且,利用转化法求解多解析函数的边值问题时,边界条件中已知函数的光滑性条 件要求还降低了,由此可见,转化法比经典法更优越.最后,我们给出了多解析 函数的Riemann边值问题的可解性与它相联的边值问题的解之间的关系. 第四章主要研究封闭曲线上各种多解析函数的Riemann边值问题,获得了 解的一般表达式和可解性条件.我们详细地讨论双解析函数的凡em~边值问 题,其边界条件可以定义在单位圆周上或简单光滑封闭曲线上.为了利用单位圆 的对称性,我们采用第一分解定理把单位圆周上具有不同因子的双解析函数的 形emann边值问题转化为等价的解析函数的凡em~边值问题,通过两种不同 途径得到形式不同的解,我们利用推广的留数定理证明了它们之间的等价性. 对带特殊矩阵的双解析函数的凡em~边值间题,我们采用适当的分解把问题 转化为两个等价的解析函数的凡em皿n边值问题.对带一般矩阵的双解析函数 的Rlemann边值间题,可以采用各种分解定理把问题转化为等价的解析函数组 的Riem~边值问题,所获得的解的一般表达式和可解性条件依赖于所谓的典 则矩阵.我们同样利用经典法和转化法求解封闭曲线上具有相同因子的多解析函 数的形em~边值问题,获得了形式不同的解,并证明了这些解之间可以相互 转化。最后,我们讨论了单位圆周上具有不同因子的约化多解析函数的Riemann 边值问题,利用圆的对称原理和分解定理把问题转化为n个等价的解析函数的 Riemann边值问题.总之,在这一章里,我们利用经典的解析函数边值问题理论 已有的结果给出各种多解析函数的凡emann边值问题的解的表达式和可解性条 件。 第五章研究了各种多解析函数的Hilbert边值问题,获得了解的一般表达式 和可解性条件.对无穷直线上多解析函数的Hilbert边值问题,利用所谓对称扩 张法把问题转化为等价的多解析函数的Hilbert边值问题。为了更好地研究双解 析函数的Hilbert边值间题,我们先用正则化法求解一维解析函数的Hilbert边值 问题,这种方法A.S.Mshimba曾使用过.对于单位圆周上的双解析函数的Hilbert 边值问题,我们通过两种不同的途径得到形式不同的解的一般表达式和可解性 条件,证明了这些解和可解性条件之间是等价的.对带一般矩阵的多解析函数的 Hilbert边值问题,利用第一分解定理把问题转化为等价的解析函数组的Hilbert 边值问题,所获得的解的一般表达式和可解性条件依赖于典则矩阵.最后,我们 讨论了单位圆周上具有不同因子的约


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