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《武汉大学》 2005年
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传输不等式及扩散算子生成半群的唯一性

张正良  
【摘要】:本文包括两个部分的内容:一是传输不等式;二是扩散过程生成半群的唯一性。其中传输不等式又包含两个方面,其一是关于一致度量的Talagrand's传输不等式;其二是研究取值于无限维空间的随机微分方程的解所对应的概率分布的传输不等式。 首先,我们来介绍一下何谓传输不等式,它与测度的凝聚现象有很大的联系。设(E,d)是一个度量空间,B是其上的σ-域,且d(·,·)是B×B-可测的。我们说概率测度μ在(E,d)上满足L~p-传输不等式,若存在一个常数C0,使得对(E,d)上任意的概率测度v,都有下面的不等式成立 W_(p,d)(μ,v)≤(2CH(v/μ)~(1/2)。 (1) 其中 W_(p,d)(μ,v)=inf(∫∫d~p(x,y)dπ(x,y))~(1/p) 是概率测度μ和v的Wasserstein距离,这里的下确界取遍乘积空间E×E上的所有概率测度π,且其边缘分布为μ和v(也可说是(μ,v)的耦合); H(v/μ)={∫log(dv/dμ)dv,如果vμ,+∞,其它 是v关于μ的相对熵。为简单起见,我们把这种关系记为μ∈T_p(C)。 本文中关于传输不等式的结果是在参阅了H.Djellout,A.Guillin,Liming.Wu的文章《Transportation cost-information inequalities and applications to random dynamical systems and diffusions》[3]的基础上,将其作进一步的推广和改善所获得的。[3]中研究了取值于有限维空间中的扩散过程的分布关于L~2-度量的T_2-不等式。但是文中有一个美中不足的地方,那就是C([0,N],R~d)空间关于L~2-度量并不是完备的。而我们又知道C([0,N],R~d)关于一致度量是一个Banach空间,如果我们能够证明扩散过程的分布关于这个一致度量也满足T_2-不等式,那就更好了!正是基于这种想法,我们才有了第一章的内容。本章主要结果如下: 考虑扩散过程 dX_t=b(X_t)dt+σ(X_t)dB_t (2) 其中b:R~d→R~d,σ:R~d→M_(d×n),M_(d×n)为d×n的矩阵空间,(B_t)是标准的布朗运动,取值于R~n空间,定义在某个概率空间(Ω,F,(F_t),(?))上,(F_t)是Ω上的σ-流。我们假定
【学位授予单位】:武汉大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2005
【分类号】:O211.63

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