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《武汉大学》 2005年
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Landau-Lifschitz方程的Hamilton理论

何进春  
【摘要】:对非线性微分方程的研究长期以来是数学和物理学中的热门领域。在非线性理论的发展过程中,出现了一些最简单的“典型”的非线性波动方程,在某种意义上这些方程具有普适性质,就象经典的线性D'alamber方程那样,在各种物理现象中都可以遇到它们。例如熟知的KdV方程、非线性Schr(o|¨)dinger方程、sin-Gordon方程和Landau-Lifshitz铁磁方程,都属于这类方程。这些方程(至少在一维情形下)都具有突出的数学性质,它们含有一种隐蔽的代数对称性一利用对辅助线性算子的逆问题方法(即反散射法)可导至“可积性”,我们称之为完全可积性。非线性方程的完全可积性,就是说,该方程描述的是一个多周期系统,即,它是一个Hamilton系统,且可以引入作为正则共轭变量的作用变量和角变量,而Hamilton量可以表为作用变量的函数。因此,由作用变量与角变量的对易关系,作用变量是守恒量;角变量是周期地依赖时间的量,要能引入这样的量,我们自然会特别着眼于在完全可积方程反散射方法求解时得到的那些与时间有关的量的性质。因此,将符合上述条件的作用变量显式地表达出来,我们才能认为建立了完全可积方程的Hamilton理论。 铁磁链的Landau-Lifshitz方程是一类有物理背景的重要的非线性方程组,其重要性在于,Landau-Lifshitz方程是一类典型的1+1维完全可积方程。然而,对此类方程Hamilton理论的研究还存在许多问题未解决。我们来看最简单的情况一完全各向同性的Landau-Lifshitz方程,也称为Heisenberg铁磁方程,在用修正过的反散射法得到其孤子解后,L.D.Faddeev等开始着手建立此类方程的Hamilton理论。在引入自旋变量的Lie-Poisson括号后,将Heisenberg铁磁方程写成以Lie-Poisson括号表出的自旋变量的Hamilton方程的形式,Hamilton量作为自旋变量对x的积分,即坐标积分表达式就无歧义的定出。另一方面,用标准的操作过程,可以求出单式矩阵元的Lie-Poisson括号,因而在连续谱情况下,也唯一地定出系统的角变量和作用变量。由反散射法给出的角变量的时间相依关系,就决定了连续谱情况下Hamilton量的谱参数积分表示,即被积函数是作用变量乘以谱参数的确定函数。于是Hamilton量的两种积分表示,坐标积分表示和谱参数积分表示,都是确定的。下面的任务是从Jost解的渐近行为导出守恒律,得到某一守恒量,其坐标积分表达式正比于Hamilton量的坐标积分表达式,其谱参数积分表达式也正比于Hamilton量的谱参数积分表达式。这种处理是数学物理中的夹逼法。
【学位授予单位】:武汉大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2005
【分类号】:O175.7

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【引证文献】
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1 刘利敏;Landau-Lifshitz方程解的一些研究[D];重庆大学;2010年
【共引文献】
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2 ;On Differential Equations Describing 3-Dimensional Hyperbolic Spaces[J];Communications in Theoretical Physics;2006年01期
3 ;A Maple Package on Symbolic Computation of Conserved Densities for (1+1)-Dimensional Nonlinear Evolution Systems[J];Communications in Theoretical Physics;2007年06期
4 颜昭雯;李民丽;吴可;赵伟忠;;Integrable Deformations of Heisenberg Supermagnetic Model[J];Communications in Theoretical Physics;2010年01期
5 张玲;;2+1维bSK方程和Hirota双线性方法求孤子解[J];滁州学院学报;2007年03期
6 方勤志;郭玉翠;;简单方程法求解非线性发展方程[J];阜阳师范学院学报(自然科学版);2007年03期
7 江祥花;;一个1+1维Boussinesq系统的Darboux变换及其应用[J];大学数学;2012年03期
8 罗国湘;荣继红;;广义DP方程的尖波解、孤立波类解和周期波解[J];桂林电子科技大学学报;2009年01期
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【同被引文献】
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1 ;Blow up problem for Landau-Lifshitz equations in two dimensions[J];Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation;2000年01期
2 周毓麟,郭柏灵;EXISTENCE OF WEAK SOLUTION FOR BOUNDARY PROBLEMS OF SYSTEMS OF FERRO-MAGNETIC CHAIN[J];Science in China,Ser.A;1984年08期
3 周毓麟,郭柏灵,谭绍滨;EXISTENCE AND UNIQUENESS OF SMOOTH SOLUTION FOR SYSTEM OF FERROMAGNETIC CHAIN[J];Science in China,Ser.A;1991年03期
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7 丁时进,郭柏灵;Partial Regularity for Higher Dimensional Landau-Lifshitz Systems[J];数学进展;2003年03期
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9 谭绍滨;Landau-Lifshitz铁磁链方程组的初边值问题[J];数学物理学报;1994年01期
10 周毓麟,郭柏灵;SOME BOUNDARY PROBLEMS OF THE SPIN SYSTEMS AND THE SYSTEMS OF FERRO-MAGNETIC CHAIN Ⅰ. NONLINEAR BOUNDARY PROBLEMS[J];Acta Mathematica Scientia;1986年03期
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