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JFNK方法的若干改进及其在二维河道水流数值模拟中的应用

寇继生  
【摘要】: 计算速度慢是目前困扰二维河流数值模拟的主要问题之一。在现有的离散方法基础上,寻求离散后非线性方程组的高效的求解方法是提高计算速度的有效途径。JFNK(Jacobian-Free Newton-Krylov)方法是近年来计算数学领域发展起来的、专门针对大型稀疏非线性方程组的联立求解算法。JFNK是非精确Newton法与Krylov子空间方法的结合体,具有两个显著的优点:一是运用Krylov子空间迭代法可以对Newton方程进行非精确求解,节省计算量,提高了计算速度;二是Krylov子空间方法的迭代过程只用到了Jacobian矩阵与向量的乘积,而它们的乘积可以用有限差分予以近似代替,因此可以不用形成和存储Jacobian矩阵,能够大大节省存储容量,提高计算效率。由于这些优点,JFNK非常适合于二维河道水流控制方程离散后的非线性方程组的求解。对于任何问题,JFNK的成功应用均依赖于适当的强制因子选取方法和预条件技术,本文在已有结果的基础上,对这些问题进行了研究,并将其应用于二维河道水流数值模拟,主要内容如下: 1.全面阐述了JFNK的计算模式,分析了二维河道水流控制方程全隐式离散所得非线性方程组的Jacobian矩阵的性质,论证了非精确Newton法求解二维水流离散方程式的收敛性问题; 2.在系统评述现有的各种强制因子选取方法的优缺点的基础上,提出了一种新的强制因子选取方法。新方法兼顾了收敛速度和线性方程组的求解计算量;尤其适用于非线性预条件的JFNK方法。证明了采用新方法选取强制因子时非精确Newton法至少是超线性收敛的。 3.根据二维河道水流离散方程组Jacobian矩阵的病态性质,提出了一种改进的Newton方法,在一定程度上解决了Jacobian矩阵数值奇异或病态问题,而且可以保持Newton法的快速收敛性。还给出了改进Newton法的一种简化格式,并在此基础上得到了一种改进的SSOR-Newton法,这是Jacobian矩阵病态的解决方法与预条件技术结合的基础。 4.根据二维河道水流离散方程组Jacobian矩阵的性质,分析了线性SSOR预条件子中松弛因子的选取的必要性和现有的选取方法的优缺点。在这些分析基础上,结合Newton迭代的信息和本文提出的改进Newton法的简化格式,提出了松弛因子选取的新方法,由此得到了一种近似最优的线性SSOR预条件技术。这种预条件的优点是不需要任何显式的矩阵。 5.从河道水流计算中节省存储量的要求出发,提出了一种有效的非线性预条件子的构造方法,并在改进的Newton法基础上,具体构造了一种非线性预条件——非线性SSOR-Newton预条件,其优点是不需要任何显式的矩阵。 6.应用本文提出的强制因子选取方法和两种预条件技术,得到了一类全隐式求解二维非恒定流控制方程组的、完全不需要任何矩阵的的JFNK方法,以扩宽河段为例对所提出的方法进行检验,结果表明这些方法能够准确求解河道水流运动方程离散后的非线性方程组,而且计算速度快、稳定性好、存储量小。计算结果表明:JFNK采用新的强制因子选取方法时计算速度快、稳定性好,尤其适合于非线性预条件技术的应用;近似最优的线性SSOR预条件和非线性SSOR-Newton预条件均能够大大提高JFNK的计算速度、稳定性,二者所需存储容量均很小,前者比目前的LU-SGS预条件子更有效,而后者比前者可以选取更大的时间步长,有利于长时间的河流模拟。


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