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《华中科技大学》 2011年
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几类常及抛物型微分方程的数值算法研究

李东方  
【摘要】:延迟偏微分方程为数学建模,描述和仿真世界中的诸多复杂的现实问题提供了必要依据。其数值解不仅让我们更为直观的了解延迟偏微分方程所描述对象的进程,而且为进一步控制和利用某些进程提供了极其重要的现实指导意义。本文将引入和改进若干相关数值算法,以期获得几类常及抛物型偏微分方程的高精度数值解。 在第一章中,我们首先给出了问题的研究背景和来源,并指出了研究该问题的现实意义。接着讨论了该问题的研究现状。在相继章节中,我们讨论了偏微分方程的时间离散,空间离散以及全离散之后的非线性代数系统的数值求解,并给出了若干新的理论结果。 相继章节的具体研究内容如下: 在第二章中,我们探讨了局部间断有限元方法来研究求解延迟反应扩散方程。首先,利用Halanay不等式,证明了数值算法的稳定性。该稳定性结果意味着,在一定条件下,数值解解的扰动受控于系统的初始扰动。接着,得到了半离散的局部间断有限元解一维延迟抛物方程的误差估计,即对于上述问题,使用k次间断有限元,可以得到最优(k+1)阶精度。此外,研究了该算法的数值耗散性。结果表明:局部间断有限元具有保持系统的耗散性的优良性质。因此,局部间断有限元是一种非常有效的数值算法来解延迟反应扩散方程。 在第三章中,我们将间断有限元应用到解延迟常微分方程问题,并得到了间断有限元的全局稳定性和类渐近稳定性的判据,以及间断有限元解一阶线性延迟方程的超收敛结果。数值算例证实了理论结果。 在第四章中,以隐显算法为基础,我们给出了系列预估校正算法来解非线性抛物问题。同时,对该算法的截断误差和稳定性进行了分析。由于该算法在每步计算中避免了多次迭代,因此比通常的线性多步法和Runge-Kutta去计算量要少。此外,与隐显力法相比,我们的方法一般拥有更大的稳定域和较高的精度。这些优势都在本文给出的数值算例中得到证实 在第五章中,受到分裂算法思想的启发,我们得到了一种分裂牛顿迭代算法。同时,给出了数值算法收敛性条件和误差结果。当将该算法应用到求解抛物问题时,数值结果显示该算法是一种非常有效的数值方法。该方法同经典牛顿迭代算法和不精确牛顿迭代算法相比,大大节省了时间。其原因在于该算法在迭代过程中,一般不需要更新Jacobian矩阵而可获得非线性代数方程的高精度数值解。这种分裂迭代思想有望在将来应用于其它数值方法和更为复杂的现实模型问题。
【学位授予单位】:华中科技大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2011
【分类号】:O241.82

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