分式微分方程组正解的存在唯一性研究

【摘要】：最近几十年，分数微积分的发展引起了人们越来越多的关注，人们对分式微分方程的研究已经从最为简单的线性分式微分方程发展到了稍微复杂的非线性分式微分方程．解的存在唯一性或多解性一直是大家所研究的重要课题，有着很强的现实意义． 本硕士学位论文主要研究了一类非线性分式微分方程组正解的存在性与唯一性问题，我们所讨论的分式微分算子是Riemann—Liouv_lle意义下的，与其他文献不同的是方程组的每个非线性项与两个未知函数均有关，并且存在性和唯一性是分开独立研究的． 在第一章，我们给出研究问题的历史背景、发展现状．在第二章，在caputo定义的初始条件下，利用相关性质将微分方程组转化为Fredoulm积分方程组．然后，定义所需要的算子并证明其全连续性．在第三章，我们主要借助于非线性泛函分析中的上、下解方法，schauder不动点定理和Banach压缩映像原理，得到了一些存在性结果和唯一性结果．开始时非线性项为正且满足单调递增，后来减弱为满足一定的增长性条件．在给出唯一性结果时，本文把李普希兹条件中Ll推广到了任意正数，是本文的一个重要工作．我们也相应的给出某些简单的例子加以说明，从而对先前的研究起到了完善的作用．最后，我们对本文做一下总结和展望．