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系数非线性增长的随机微分系统的稳定性和解的抑制

刘磊  
【摘要】:上自上世纪四十年代,Ito引入随机积分以后,随机微分系统的理论得到了快速发展.随机微分系统的稳定性是一个被普遍关注的问题,有重大的理论和应用价值.经典的稳定性判据一般要求系统的系数满足线性增长条件和Lipschitz条件(包括局部Lipschitz条件).但是对于很多实际系统来说,线性增长条件的限制显得过于苛刻.且在实际的建模过程中,使用线性函数去模拟某些变量的增长率或相对增长率时,虽然可以简化模型,也便于利用一些线性代数知识去研究,但是却可能带来与现实的较大误差.当使用非线性函数,如较简单的多项式函数,去模拟某些增长率或相对增长率时,某些方面更加符合实际情形,但相应的模型可能会具有较复杂的形式.相较于线性的情况,寻找合适的Lyapunov函数将变得更加困难,且不易使用比较系统的代数工具去研究其各种性质.不论是Lyapunov直接法,还是Lasalle方法研究非线性随机系统的动力学行为都需要构造Lyapunov函数或Lyapunov泛函,且对于不满足线性增长条件的系统,寻找一个合适的Lyapunov函数或Lyapunov泛函是一件困难的事情.在系数不满足线性增长条件及缺乏合适Lyapunov函数或Lyapunov泛函的情况下,假设漂移项和扩散项的增长被相应的多项式条件控制,通过一些新的分析技巧对多项式的参数进行估计和讨论,来研究随机微分系统的稳定性,具有理论和实际意义. 同时,研究噪声对确定性系统解的动力学行为的影响引起了越来越多学者的注意.众所周知,白噪声既可以镇定一个不稳定的系统,也可以破坏一个给定的稳定系统.经典的文献一般要求原确定性系统的系数满足线性增长条件(包括单边线性增长条件),但很多从实际工程问题中提出的重要的数学模型不满足线性增长条件,比如Van der Pol's模型,Duffing's模型和Lotka-Volterra模型.并且当系数不满足线性增长条件时,系统可能具有爆炸解.因此研究噪声对系数不满足线性增长的确定性微分系统解的渐近行为的影响具有理论意义和实用价值. 本文以局部Lipschitz条件为预设,针对不同类型的随机微分系统的渐近稳定和指数稳定,进一步假设漂移项和扩散项的增长被相应的多项式条件控制,通过一些新的分析技巧对多项式的参数进行估计和讨论,结合半鞅收敛定理、Kolmogorov-Centson定理、随机积分不等式、Barbalat引理,建立指数稳定和渐近稳定的充分性判据.同时,通过应用指数鞅不等式和Borel-Cantelli引理,研究了白噪声对系数满足一类多项式增长条件的确定性随机微分系统可能的爆炸解的抑制.本文的主要工作和贡献如下: 本文首先研究系数不满足线性增长条件的随机微分系统、具有Markovian切换的随机微分系统、随机时滞微分系统的稳定性.针对不同随机微分系统所给的多项式条件均保证相应系统的全局解的存在、p阶矩一致有界及p阶矩关于轨道的一直连续性.通过一些新的分析技巧对所给多项式参数进行估计,结合随机分析的工具,针对这几类系统建立了指数稳定和渐近稳定的充分性判据.所得判据可由系统的系数表达,易于验证.基于所得判据,可对矩指数稳定和矩渐近稳定矩的阶数的范围、指数稳定的Lyapunov指数进行估计. 其次,对于系数满足一类更广泛多项式增长条件的确定性微分系统,引入噪声使得原系统变随机摄动系统.并指出合适的噪声可以保证随机摄动系统的全局解的存在性,尽管原系统的解可能在有限的时间内爆炸.进一步地揭示这个单一扰动噪声还可以使得随机摄动系统解的几乎每条轨道至多以多项式的速度增长. 最后,对全文工作进行了总结,并指出下一步的研究方向.总之全文关于几类随机微分系统指数稳定性和渐近稳定性进行了研究,并讨论了白噪声对一类确定性系统的解渐近行为的影响.丰富并拓展了随机微分系统研究方法.数值例子也说明了文中结论的正确性和方法的有效性.


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