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《华中科技大学》 2012年
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计算机图形学中非线性投影问题的研究

方雄兵  
【摘要】:投影和变换是经典计算机图形学中两个重要的工具。由于它们都可以利用简单的矩阵乘法表示,因此是线性的。近20年来,在计算机图形学、计算机辅助设计、绘画艺术、摄影术和地图学等领域中,出现和发展了许多共同的非线性投影方法,例如:正交投影、最小距离投影、平行投影和中心投影、方向投影、最小二乘投影、伪透视投影、多点透视、全景投影、鱼眼投影、球极投影、圆环反演等,这些非线性投影技术极大地丰富了传统计算机图形学的内容,产生了比线性投影技术更具艺术感染力的视觉效果,同时也为相关领域的工程问题提供了更有效的工具。 研究了计算机图形学和计算机辅助几何设计领域中几个重要的非线性投影问题,包括:点/曲线在曲线/曲面上的正交投影,基于球极投影的单位球面圆环序列的蒙皮以及参数曲线在曲面上的平行投影和中心投影问题,这几种投影问题在曲面上的曲线设计方面有着重要理论和实际应用价值。同时,还介绍了三种常用的非线性投影:伪透视投影、鱼眼投影和圆环反演。 提出了参数曲线在隐式曲面上的正交投影的二阶迭代算法。通过将隐式曲面上待求的正交投影曲线看成参数曲线,首先分析了正交投影曲线关于参数曲线的参数的一阶和二阶微分性质,建立了基于泰勒逼近的二阶迭代算法来直接追踪隐式曲面上的正交投影点序列,考虑到二阶迭代算法带来的计算误差,同时提出了一种一阶误差校正方法。实验结果表明:与现有的一阶算法相比,所提出的二阶算法在计算精度和效率方面占用优势。 提出了参数曲线在参数曲面上的正交投影的二阶迭代算法。根据正交投影定义,分析了正交投影曲线在二维曲面参数域中的一阶和二阶微分性质,建立了基于泰勒逼近的二阶迭代算法来追踪正交投影曲线在曲面参数域中的参数投影点序列,同时提出了一种一阶误差校正方法。实验结果表明:与现有的一阶算法以及基于点投影技术的离散投影方法相比,所提出的二阶算法在计算精度和效率方面占用优势。 提出了单位球面上圆环序列的蒙皮算法。通过引入球极投影,将单位球而上圆环序列的蒙皮问题转化为平面上圆环序列的蒙皮问题。对于平面上圆环序列的蒙皮问题,在利用阿波罗圆求得每个圆环上的切点以及在每个切点处定义单位切向量后,提出了利用有向圆弧依次插值相邻两个圆环上的切点以及单位切向量组成的两点-Hermite数据的方法来构造蒙皮曲线,包括两点-Hermite数据的C-形插值和S-形插值算法、圆环-点插值和点-圆环插值算法以及圆环-圆环插值算法。该方法生成的蒙皮曲线具有G1连续性且克服了现有算法的缺陷——蒙皮曲线与圆环存在局部相交现象。最后,利用逆球极投影将平面圆环序列的蒙皮映射到单位球面上即可得到单位球面上圆环序列的蒙皮曲线。 提出了参数曲线在参数曲面上的平行投影和中心投影二阶迭代算法。建立了基于泰勒逼近的二阶方法直接在参数域上追踪投影点的参数,并提出了相应的一阶误差校正方法。实验结果表明:与一阶平行投影和中心投影算法相比,二阶平行投影和中心投影算法在计算精度和效率上有一定的优势。 上述正交投影算法、中心投影和平行投影算法所得到的都是参数域中和曲面上的点序列,进一步在曲面上设计具有节点向量和控制点表示形式的插值曲线是未来研究的重点。所提出的两点-Hermite数据的C-形插值和S-形插值算法于可以进一步应用于曲线逼近;而圆环-点插值算法、点-圆环插值算法以及圆环-圆环插值算法可以应用于避障问题中的路径设计。
【学位授予单位】:华中科技大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2012
【分类号】:TP391.41

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