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《华中科技大学》 2013年
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基于绝热演化的量子搜索算法研究

孙杰  
【摘要】:基于传统量子线路模型的Shor大整数因子分解算法、Grover无序数据库量子搜索算法以及求解线性方程组的量子算法等均展现出量子计算机的强大计算能力。然而,事实证明设计量子的算法是一个极具挑战性的难题。2000年左右,一种崭新的量子计算模型被提出来—绝热量子计算模型。其基于量子物理中的绝热定理,属于连续时间演化模型,该方案的主要思想可以概括为:让量子系统处于一个容易制备初始状态,将所求问题的解编码对应至系统的末态,让整个量子系统封闭地按照预先选定的某一个路径进行绝热演化,这样经过适当的时间之后,测量系统的末态将以很大的概率得到所要求问题的解。其中的演化时间便由绝热定理来估计。 经研究发现,最初的绝热模型用来实现Grover搜索时相对于经典搜索算法并没有优势而言。针对这一问题,一种称为局部绝热的量子搜索算法被提出来,其性能与Grover算法相当。最近,一种介于这两种算法之间称为部分绝热算法的框架由Tulsi提出,一方而其继承了全局绝热算法的与生俱来的抵抗量子噪声的能力,但同时其仍可提供二次加速的功能。基于部分绝热演化的量子搜索算法已经被设计出来并进行了初步的研究。 由于绝热搜索算法的演化路径是算法性能的核心要素之,这里首先就两类非线性路径以一类特殊的搜索问题为例进行了研究,即当需查找的元素与量子系统的初态正交时,具有一般化形式的非线性路径会失效—时间复杂度为无穷大,并不可以暂时增加量子系统能量而带来时间复杂度的降低;具有驱动哈密顿量形式的非线性路径仍然能以一种物理上实现时相应复杂度的增加而保证其常数量级的时间复杂度的优势。但同时这里研究发现,以保持系统在整个演化过程中能量为零、形式上可认为是增加了驱动哈密顿量的非线性路径一种变体的绝热路径导入的绝热算法,在解决同一搜索问题时时问复杂度仍然为无穷大。这些研究表明非线性演化路径的优越性与局限性。 其次,文中对量子搜索问题进行了抽象,得出一种能在全局绝热演化框架下仍能提供二次加速功效的新系统哈密顿量,并将之推广到可以提供任意时间复杂度功能的哈密顿量,分析了在绝热演化过程中伴随系统的能量变化方式,并与非线性绝热演化以及局部绝热演化方式进行了比较,给出伴随此演化过程能量变化的物理机理。局部绝热演化运用至同一问题时,很明显可以得到二次加速的效果。对这一抽象搜索问题,文中研究发现在部分地Tulsi给出的原先部分绝热演化系统哈密顿量需满足的条件这一前提下,仍然可以运用部分绝热算法而得到二次加速功效,并得到此时系统哈密顿量满足新条件。 接着,对可将全局以及局部绝热算法看成部分搜索算法特例的这一结论进行明确化,提出具体的实现方法,并给出相应做法的依据。同时,这里引入了一种部分绝热算法的变体—基于部分演化的局部绝热演化算法,但发现该算法并不能较局部或者部分绝热算法再次提供加速,相反,它们恰具有相同的时间复杂度,从而亦间接表明此算法性能的最优。同时,文中给出对这一算法的两种等价观点。针对有关文献给出部分绝热搜索算法时间复杂度的一个错误,文中进行了修正,即研究发现:当无序数据库中的元素数日M大于1时,部分绝热搜索量子算法并不能相对局部绝热演化提供D((?))加速功能,并且文中证明了部分绝热搜索算法在M≥1时算法性能的最优性。 再次,文中详细讨论如何将绝热算法转化为线路模型下对应的量子算法,这里研究了常见的绝热搜索算法在量子线路下的实现—全局绝热、局部绝热、部分绝热以及由此衍生的基于部分绝热的局部演化算法。研究表明,所有这些算法的时间复杂度与线路模型下所得到的时间分片数是一致的。 最后,文中给出了绝热计算的若干应用,包括预知元素先验概率分布的绝热量子搜索、将绝热计算用于制备简易量子纠缠态以及在绝热计算框架下实现量子线路模型下的常用量子门。
【学位授予单位】:华中科技大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2013
【分类号】:TP301.6

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