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非线性随机系统的动力学行为研究

赵国英  
【摘要】:由微分方程所描述的确定性系统在物理、工程技术、生物和经济系统等领域中的应用是众所周知的.然而随着科学技术的发展,要求对实际问题的描述愈来愈精确.因此,随机因素的影响就不能轻易地被忽略,于是对某些实际过程的分析也就有必要从通常的确定性观点转到随机的观点,从而对这些实际系统的描述,也就自然地从确定性的微分方程转到随机微分方程,即由确定性系统转变成随机系统.在随机系统的系统分析中,稳定性是一个重要的动态特性,是工程设计的主要目标之一.考虑到实际工程系统所处的环境日益复杂,而要求完成的行为却不尽相同,因此,本文对非线性随机系统的动力学行为(特别是稳定性与吸引性)进行了深入系统的分析与研究. Lasalle 定理是研究系统的稳定性与吸引性的重要工具,因为它取消了Lyapunov 函数正定的要求,因而在实际工程问题中被广泛应用.本文应用Ito 公式、半鞅收敛定理、随机积分的均值不等式、Kolmogorov-?entsov 定理等随机分析工具与不等式技巧,首次建立了一般中立型随机泛函微分系统的随机型Lasalle 定理,其结果能包含现有文献中随机微分系统与随机泛函微分系统的随机型Lasalle 定理. 同时针对现有的随机泛函微分系统的随机型Lasalle 定理的p 阶矩的条件太苛刻及许多随机泛函微分系统并不满足线性增长条件,建立了改进的随机泛函微分系统的随机型Lasalle 定理. 针对现有文献中仅用一个Lyapunov 函数讨论随机泛函微分系统的稳定性,本文应用多个Lyapunov 函数讨论了一般随机泛函微分系统的稳定性.同时应用Ito 公式、半鞅收敛定理与H?lder 不等式等方法建立了一般中立型随机泛函微分系统的渐近稳定性、多项式渐近稳定性与指数稳定性等判据.与经典的随机稳定性结果相比,本文的结果充分利用了随机扰动项的有益作用,并且从理论上说明一个不稳定的系统有时加入适当的随机干扰后反而稳定. 首次对一类具有Markov 切换的随机混合系统进行了系统研究,由中立型随机微分时滞系统解的存在唯一性定理与Burkholder-Davis-Gundy 不等式,建立了这类随机混合系统解的存在唯一性定理及解的估计. 进一步应用标准截断技术给出这类随机混合系统在不满足线性增长条件下解的存在唯一性定理.最后应用广义的Ito 公式、半鞅收敛定


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