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相机权益评价的数值算法研究

梅正阳  
【摘要】: 相机权益是一种特殊的金融合同。如果市场是完备的,并允许无套利交易策略,那么,存在等价鞅测度,使得任意的相机权益都能够作为适当的条件期望来计算。如果难以找到解析形式的条件期望公式,那么就要用到数值方法。无论是金融期权,还是实物期权,都是相机权益的的具体形式。随着金融理论的不断发展和完善,相机权益的数值算法研究变得越来越重要。而且数值算法研究已经成为联系金融理论和金融实践的重要桥梁。本文重点研究了美式类型相机权益定价的若干数值算法。具体地,本文的主要结果如下: 方法一:将二项式模型扩展为三项式模型,建立了基于单个基础资产相机权益的三项式模型,通过设定新的参数,将标准的三项式对称形式扩展成一般的非对称形式,获得了单资产三项式相机权益定价的风险中性概率: 命题1:在时间区间[t , t +Δt]上,用如下的离散随机变量ξ~α(t )来逼近连续随机变量ξ(t ),并设离散随机变量ξ~α(t )服从如下分布列:其中δ比例常数, p1 + p2 + p3 =1,则风险中性概率分别为忽略高阶项o(Δt ),风险中性概率重写为 方法二:依赖于多个不确定源的相机权益的评价也是一个重要的问题,利用基于两基础资产相机权益的多项式模型,引进两个新的参数,修改多项式对称模型为非对称模型,推导出基于两基础资产相机权益定价的风险中性概率: 命题2:假设两种基础资产价格对数变化满足特定形式,对于两连续随机变量对{ξ_1 ( t ),ξ_2(t )},用离散随机变量对{ξ_1~α,ξ_2~α}来逼近连续随机变量对{ξ_1( t ),ξ_2(t )},且要求离散随机变量对{ξ_1~α,ξ_2~α}有下表所示的联合分布列:其中取v_i =λ_iσ_i(Δt)~(1/2), i = 1,2, p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 =1,当Δt→0时,则写在两基础资产价格对数变化上的相机权益的风险中性概率为: 基于两资产的多项式风险中性概率技术具有一般性,两资产以上的多资产情形可以仿此方法推导。 方法三:利用基本的有限差分数值算法技术,在保证算法的稳定性和收敛性的前提下,给出了相机权益定价的随机波动率状态有限Markov链方法,既避免了二项式概率树的波动率状态无限增加问题,也避免三项式或多项式网格法波动率最大最小取值问题,重要的是还能有效地计算欧式权益和美式权益。 命题3:在风险中性世界里,具有有限Markov随机波动率的基础资产价格变化的、由偏微分方程描述的美式相机权益(期权),当时间和空间划分满足R (h ,τ) = O(τ+ h2)的精度时,按如下方法可计算出0时刻的美式期权价值:首先用SOR技术求解方程组, j = N- 1,计算出该时间层上的期权理论值;再计算出F_(i,j)~l,并与f_(i,j)~l(= EX- i·h)进行比较: (1)如果F_(i,j)~l≤f_(i,j)~l( = EX - i·h),则立刻执行期权,获得立刻执行期权的较大的收益F_(i,j) = f_(i,j)~l(= EX - i·h)(因为继续持有期权所得的F_(i,j)~l较小); (2)如果F_(i,j)~l f_(i,j)~l(= EX - i·h),则继续持有期权,获得持有期权的期望收益;即F_(i,j) = max { f_(i,j)~l(= EX - i·h) , F_(i,j)~l};照此方式计算,分别取j = N-2, N-3…1, 0,可获得各时刻的期权值,直到最后得t = 0时刻的期权值其中必有一个F_(i ,0)对应当前标的资产价格S = i·h,则此F_(i ,0)即为所求的美式Put价值。其中F_(i ,j)~l有具体表达式给出。 方法四:在基本的Monte Carlo随机模拟方法基础上,给出了采用最小均方技术的Monte Carlo随机模拟LSM算法,使该方法能够有效地应用于美式类型相机权益价值的计算。再结合上章提出的具有Markov链随机波动率的美式权益定价方法,为其他许多类型相机权益定价的数值计算提供了理论和技术支撑。 命题4:对于任何有限的M和K ,设LSM ( S t (ω),σi; M , K )为基础资产价格变化的波动率为σi的、遵从LSM执行规则的折现现金流,那么在风险中性世界里,写在具有有限Markov随机波动率的基础资产上的美式期权在时刻t的价值为其中F ( S t ;σi)为t时刻、股票价格为S t、执行价为EX、到期日为T、无风险利率为r、波动率为σi的美式权益价值。 方法五:尽管基础资产价格运动服从分数Brown运动(FBM)的相机权益的定价理论还不完善,但大量的实证研究支持FBM假设,金融市场时间回报序列具有自相似的分形特征。数值模拟提供了重要的研究途径。 命题5:对于任何有限的M和K ,设FBM _ LSM ( S t (ω),σi; M , K )为基础资产价格变化的波动率为σi的、遵从LSM执行规则的折现现金流,那么在风险中性世界里,写在具有有限Markov随机波动率的基础资产上的美式期权在时刻t的价值为其中F ( S t ;σi)为t时刻、股票价格为S t、执行价为EX、到期日为T、无风险利率为r、波动率为σi的美式权益价值。 借助基于FBM的最小均方Monte Carlo随机模拟FBM_LSM方法,获得了重要的结论:与常见的基于几何Brown运动的基础资产价格运动相比较,基于FBM的基础资产价格的运动或者更剧烈(当H∈(1, 1/2)时),或者更平滑(当H∈(1/2, 1)时);与基于几何Brown运动基础资产价格的相机权益的价值相比较,基于FBM的基础资产价格的相机权益价值或者更高(当H∈(1, 1/2)时),或者更低(当H∈(1/2, 1)时)。


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