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《华中科技大学》 2006年
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计算电磁学的无单元方法研究

张勇  
【摘要】: 作为一种新型数值计算方法,无单元方法告别了对单元的依赖,将所有求解过程建立于一系列分布的节点上,既避免了单元划分的复杂过程,又消除了单元畸变等问题,受到了各学科数值计算研究领域的普遍关注。 无单元方法最初发展于计算力学并形成了较为完整的体系。本文将其体系较为完整的引入计算电磁学领域,研究发展了适合于计算电磁学领域的无单元方法,对无单元方法所拥有的共同特点和其被应于计算电磁学领域时所面临的特殊问题展开了双重研究,主要内容包括: 发现了无单元伽辽金法求解节点不良分布以及采用高次多项式基构造形函数时,数值结果将产生数值振荡的现象。借助数学分析,找到了产生形数值振荡的原因,并提出了正交基无单元伽辽金法。该方法保留了无单元伽辽金法的优点,去除了其固有的一些缺陷,使得用高次正交基作逼近时不仅有高计算精度,而且有高数值稳定性。微机电系统电磁问题数值算例证明了上述论断。 提出了计算电磁学的边界无单元方法。以插值型和拟合型两种逼近思想构造边界无单元法的形函数,并对两者的优点进行了比较。提出了电磁场瞬态涡流分析的边界无单元方法,以多项式基和径向基函数建立插值形函数,形成了多项式点插值边界无单元法和径向基点插值边界无单元法,并在此基础上对两种基类的点插值边界无单元法进行了详尽的对比分析。 将径向基点配置型无单元方法引入计算电磁学领域,发展了适合于计算电磁学问题的径向基点配置法。径向基点配置法本身属于纯无单元方法,它最大的特点就是实施程序简单。本文对具有不同变化规律的函数进行逼近分析,研究了节点分布的一般规律,得出了选择径向基函数形状参数以及合理分布求解节点的一般规律。提出了时变问题分析的时域径向基点配置法。该方法通过设置在空间上只与距离有关,在时间上只与未知参数有关的径向基函数,建立了稳定可靠的隐式格式和Crank-Nicolson格式的时域径向基点配置法。本文将其用于电磁场瞬态涡流问题的分析中,取得了很好的效果。 针对复杂凹型求解区域和多介质求解区域中全域径向基点配置法面临的一些问题,提出了子域径向基点配置法。该方法得出的系统求解矩阵呈现出分区带状的特征,因此系统求解矩阵具有较低的条件数,数值结果具有更高的精度和稳定性。根据径向基点配置法的特点,率先将其应用于微机电系统力—电耦合问题的分析域求解中。 针对物质运动和物质存在形态上所遵循的平衡思想,分析了数值方法中存在的平衡,并根据平衡的内在本质,简单论述了数值方法中所遵循的一般规律。
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